Question

1)Касательная проведённая к графику функции y=2x³+12x²+13x-20 в некоторой точке, параллельной прямой y=-5x+1. Найдите координаты точки касания и составьте уравнение касательно. 2)Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=-x⁴/27+x²/8-2x+5 в точке с абциссой x=3.(желательно в письменном виде)​

Answer 1

$></p> <p><img src=$

$\displaystyle\\2)\ f(x)=-\frac{x^4}{27} +\frac{x^2}{8} -2x+5\ \ \ \ x_0=3\\\\y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\\\f(x_0)=-\frac{3^4}{27}+\frac{3^2}{8}-2*3+5=-\frac{23}{8}\\\\\\ f'(x)=-\frac{4}{27}x^3+\frac{1}{4}x-2\\\\\\ f'(x_0)=-\frac{4}{27}*3^3+\frac{1}{4}*3-2=-\frac{21}{4}\\\\\\ y=-\frac{21}{4}(x-3)-\frac{23}{8}$

Answer 2

1. Для начала найдем производную функции y = 2x³ + 12x² + 13x - 20:

y = 2x³ + 12x² + 13x - 20 y' = 6x² + 24x + 13

Мы ищем точку, в которой касательная будет параллельна прямой y = -5x + 1. Это означает, что угол наклона касательной и прямой должен быть одинаковым, а значит их производные должны совпадать:

y' = -5

6x² + 24x + 13 = -5

6x² + 24x + 18 = 0

Делаем замену переменной: t = 3x

2t² + 8t + 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

t² + 4t + 3 = 0

(t + 3)(t + 1) = 0

t = -3 или t = -1

Теперь найдем соответствующие значения x:

1. t = -3: 3x = -3 => x = -1
2. t = -1: 3x = -1 => x = -1/3

Таким образом, у нас есть две точки, в которых может быть проведена касательная параллельно прямой y = -5x + 1: (-1, 6) и (-1/3, 4/3). Выберем точку (-1, 6) для дальнейших вычислений.

Теперь найдем значение функции в этой точке:

y = 2x³ + 12x² + 13x - 20 y = 2*(-1)³ + 12*(-1)² + 13*(-1) - 20 y = -2 + 12 - 13 - 20 y = -23

Таким образом, точка касания касательной - это (-1, -23).

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y₁ = k(x - x₁),

где (x₁, y₁) - точка касания, а k - значение производной в этой точке.

Из ранее найденного:

x₁ = -1, y₁ = -23, k = -5 (производная прямой).

Подставляя значения:

y - (-23) = -5(x - (-1)), y + 23 = -5x - 5, y = -5x - 28.

Итак, уравнение касательной: y = -5x - 28.

2. Для нахождения уравнения касательной к функции f(x) = -x⁴/27 + x²/8 - 2x + 5 в точке x = 3, выполним следующие шаги:

Сначала найдем производную функции f(x):

f(x) = -x⁴/27 + x²/8 - 2x + 5, f'(x) = -4x³/27 + x/4 - 2.

Теперь подставим x = 3 в производную, чтобы найти наклон (или угловой коэффициент) касательной в точке x = 3:

f'(3) = -4(3)³/27 + 3/4 - 2, f'(3) = -4 + 3/4 - 2, f'(3) = -9/4.

Теперь найдем значение функции f(x) в точке x = 3:

f(3) = -3⁴/27 + 3²/8 - 2(3) + 5, f(3) = -81/27 + 9/8 - 6 + 5, f(3) = -3 + 9/8 - 6 + 5, f(3) = 1/8.

Теперь мы знаем координаты точки касания: (3, 1/8), и угловой коэффициент касательной: -9/4.

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y₁ = k(x - x₁),

где (x₁, y₁) - точка касания, а k - значение производной в этой точке.

Подставляя значения:

x₁ = 3, y₁ = 1/8, k = -9/4,

получаем:

y - 1/8 = -9/4(x - 3), y = -9/4x + 27/4 + 1/8, y = -9/4x + 29/8.

Итак, уравнение касательной: y = -9/4x + 29/8.