Question

Найти остаток от деления: 37^73 на 15 С максимально подробным решением.

Answer 1

Ответ:

$\frac{7}{15}$

Объяснение:

Если правильно понял:

$\frac{37^{73}}{15} =\frac{37*37^{72} }{15} =\frac{37}{15} *37^{72}$

Т.к. $37^{72}$ - целое число, его отбрасываем

Веделяем целую часть

$\frac{37}{15} =2\frac{7}{15}$

Отбрасываем целое и получаем

$\frac{7}{15}$

Answer 2

Для нахождения остатка от деления $37^{73}$ на 15, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма и правилом Конгруэнтности.

Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ — простое число, а $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, где $\equiv$ означает "конгруэнтно" (имеет одинаковые остатки при делении на $p$).

Теперь, чтобы использовать малую теорему Ферма, нам нужно выразить $37^{73}$ как $37^{p-1}$, где $p$ — простое число, и $73 = k \cdot (p - 1) + r$, где $k$ — целое число, а $r$ — остаток.

В нашем случае $p = 5$, так как мы ищем остаток от деления на 15, и 5 — это простое число. Таким образом, $37^{4} \equiv 1 \pmod{5}$ по малой теореме Ферма.

Далее, мы видим, что $73 = 4 \cdot 18 + 1$, где $k = 4$ и $r = 1$.

Теперь мы можем записать: $37^{73} = 37^{4 \cdot 18 + 1} = (37^{4})^{18} \cdot 37^{1}$

Используя малую теорему Ферма, $37^{4} \equiv 1 \pmod{5}$, поэтому: $37^{73} \equiv 1^{18} \cdot 37 \equiv 37 \pmod{5}$

Теперь нам нужно найти остаток от деления $37$ на $15$. Это будет $7$, так как $37 = 15 \cdot 2 + 7$.

Итак, остаток от деления $37^{73}$ на $15$ равен $7$.