Question

Найти полный дифференциал функции f(x,y,z)=ln(x^3+4x^2 y z-2^z)

Answer 1

Ответ:

$df = \frac{(3x^2+8xyz)dx + 4x^2z dy + (4x^2y - 2^z \ln 2)dz}{x^3+4x^2yz-2^z}$

Пошаговое объяснение:

$df = f_{x}dx + f_{y}dy + f_{z}dz, f_x,f_y,f_z -$ частные производные по каждой из переменных

$f_x = \frac{1}{x^3+4x^2yz-2^z} \cdot (3x^2+8xyz) = \frac{3x^2+8xyz}{x^3+4x^2yz-2^z};$

$f_y = \frac{1}{x^3+4x^2yz-2^z} \cdot 4x^2z = \frac{4x^2z}{x^3+4x^2yz-2^z};$

$f_z = f_y = \frac{1}{x^3+4x^2yz-2^z} \cdot (4x^2y - 2^z \cdot \ln 2) = \frac{4x^2y - 2^z \cdot \ln 2}{x^3+4x^2yz-2^z};$

$df = \frac{(3x^2+8xyz)dx + 4x^2z dy + (4x^2y - 2^z \ln 2)dz}{x^3+4x^2yz-2^z}$

Answer 2

Чтобы найти полный дифференциал функции $f(x, y, z) = \ln(x^3 + 4x^2yz - 2^z)$, нужно найти частные производные функции по каждой из переменных $x$, $y$ и $z$, а затем выразить полный дифференциал через эти производные и приращения переменных.

Давайте начнем:

1. Найдем частные производные:

   • По $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^2 + 8xyz}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}$
   • По $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{4x^2z}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}$
   • По $z$: $\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{-2^z \ln(2) + 4x^2y}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}$

2. Теперь выразим полный дифференциал: $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz$

   Подставим найденные частные производные: $df = \left(\frac{3x^2 + 8xyz}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}\right)dx + \left(\frac{4x^2z}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}\right)dy + \left(\frac{-2^z \ln(2) + 4x^2y}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}\right)dz$

Таким образом, полный дифференциал функции $f(x, y, z)$ равен: $df = \left(\frac{3x^2 + 8xyz}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}\right)dx + \left(\frac{4x^2z}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}\right)dy + \left(\frac{-2^z \ln(2) + 4x^2y}{x^3 + 4x^2yz - 2^z}\right)dz$