Question

Помогите пожалуйста , желательно с подробным решением а)( + 3)(4 − 2)( − 1)^2 ≥ 0 Система: х^2-2х-3 ≥0 х-3/х+4 меньше либо равно 0

Answer 1

ответ в приложенном фото)

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу поэтапно. Начнем с первого неравенства:

а) $(+3)(4 - 2)(-1)^2 \geq 0$

Раскроем скобки и упростим:

$(+3)(4 - 2)(-1)^2 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Теперь мы имеем неравенство $6 \geq 0$, которое выполняется, так как положительное число больше или равно нулю.

Теперь перейдем ко второй части задачи - системе неравенств:

б) $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \geq 0 \\ \frac{x - 3}{x + 4} \leq 0 \end{cases}$

Начнем с первого неравенства $x^2 - 2x - 3 \geq 0$:

Для решения этого неравенства, найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$:

$\begin{aligned} x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ (x - 3)(x + 1) &= 0 \end{aligned}$

Значит, $x = 3$ или $x = -1$.

Построим знаковую таблицу, чтобы понять, когда $x^2 - 2x - 3$ положительно или отрицательно:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x < -1 & -1 < x < 3 & x > 3 \\ \hline x^2 - 2x - 3 & - & + & + \\ \hline \end{array}$$

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x - 3 \geq 0$ выполняется, когда $x \leq -1$ или $x \geq 3$.

Теперь рассмотрим второе неравенство $\frac{x - 3}{x + 4} \leq 0$:

Знаменатель $x + 4$ не может быть равным нулю, поэтому рассмотрим его знак:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & x < -4 & x > -4 \\ \hline x + 4 & - & + \\ \hline \end{array}$$

Знак числителя $x - 3$ зависит от $x$:

• Если $x < -4$, то $x - 3 < -4 - 3 = -7$, то есть отрицательное число.
• Если $x > -4$, то $x - 3 > -4 - 3 = -7$, то есть также отрицательное число.

Теперь построим знаковую таблицу для дроби $\frac{x - 3}{x + 4}$, учитывая знаки числителя и знаменателя:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & x < -4 & -4 < x < 3 & x > 3 \\ \hline x - 3 & - & - & + \\ \hline x + 4 & - & + & + \\ \hline \frac{x - 3}{x + 4} & + & - & + \\ \hline \end{array}$$

Из этой таблицы видно, что $\frac{x - 3}{x + 4} \leq 0$ выполняется, когда $-4 < x < 3$.

Итак, решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \geq 0, & \text{когда } x \leq -1 \text{ или } x \geq 3 \\ \frac{x - 3}{x + 4} \leq 0, & \text{когда } -4 < x < 3 \end{cases}$$