Question

Найти неопределенный интеграл а) ∫(5х²+x+2sinx)dx б)∫ xsin(2x) dx Нужен развернутый ответ

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \int (5x^2+x+2\, sinx)\, dx=5\cdot \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2\, cosx+C\\\\\\2)\ \ \int x\cdot sin2x\, dx=\Big[\ u=x\ ,\ du=dx\ ,\ dv=sin2x\, dx\ ,\ v=-\frac{1}{2}\, cos2x\ \Big]=\\\\=uv-\int v\, du=-\dfrac{x}{2}\, cos2x+\dfrac{1}{2}\int cos2x\, dx=-\dfrac{x}{2}\, cos2x+\dfrac{1}{4}\, sin2x+C\\\\\\P.S.\ \ \ \int sin(kx+b)\, dx=-\dfrac{1}{k}\, cos(kx+b)+C\ ;\\\\{}\qquad \quad \int cos(kx+b)\, dx=\dfrac{1}{k}\, sin(kx+b)+C\ .$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти неопределенные интегралы.

а) ∫(5x² + x + 2sinx) dx:

Давайте найдем интеграл для каждого члена по отдельности и затем сложим результаты.

∫(5x²) dx = (5/3)x³ + C₁, где C₁ - произвольная постоянная. ∫(x) dx = (1/2)x² + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная. ∫(2sinx) dx = -2cosx + C₃, где C₃ - еще одна произвольная постоянная.

Теперь сложим все интегралы:

∫(5x² + x + 2sinx) dx = (5/3)x³ + (1/2)x² - 2cosx + C,

где C = C₁ + C₂ + C₃ - окончательная произвольная постоянная.

б) ∫(x*sin(2x)) dx:

Для интегрирования произведения функций мы будем использовать интегрирование по частям:

Пусть u = x, dv = sin(2x) dx, тогда du = dx и v = (-1/2)cos(2x).

Используя формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫(xsin(2x)) dx = (-1/2)xcos(2x) - ∫((-1/2)cos(2x)) dx = (-1/2)xcos(2x) + (1/4)∫cos(2x) dx = (-1/2)xcos(2x) + (1/8)sin(2x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, вычислили интегралы:

а) ∫(5x² + x + 2sinx) dx = (5/3)x³ + (1/2)x² - 2cosx + C₁ + C₂ + C₃, б) ∫(xsin(2x)) dx = (-1/2)xcos(2x) + (1/8)sin(2x) + C.