Question

Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции у = 3х4 - 2x3 + 5

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Все решение есть на фото. Извините, если что-то не так :/

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции $y = 3x^4 - 2x^3 + 5$, нам нужно проанализировать её производные.

1. Найдем первую производную $y'$: $y' = 12x^3 - 6x^2$.

2. Найдем вторую производную $y''$: $y'' = 36x^2 - 12x$.

Теперь проанализируем промежутки монотонности и точки экстремума:

Промежутки монотонности:

1. Промежуток между корнями $y'$: Поскольку первая производная $y'$ является многочленом третьей степени, он имеет не более двух корней. Давайте найдем корни: $12x^3 - 6x^2 = 0$. $6x^2(2x - 1) = 0$. Таким образом, $x = 0$ и $x = \frac{1}{2}$.

Теперь посмотрим на знаки $y'$ в интервалах между корнями:

• Для $x < 0$, $y'$ отрицательна (знак меняется с положительного на отрицательный при переходе через $x = 0$).
• Для $0 < x < \frac{1}{2}$, $y'$ положительна (знак меняется с отрицательного на положительный при переходе через $x = \frac{1}{2}$).
• Для $x > \frac{1}{2}$, $y'$ снова отрицательна.

Точки экстремума:

1. Локальный минимум в $x = 0$: Вторая производная $y''(0) = 0$, но это не достаточное условие для определения характера экстремума. Посмотрим на знаки второй производной перед и после $x = 0$:

• Для $x < 0$, $y''$ положительна (знак не меняется при переходе через $x = 0$).
• Для $x > 0$, $y''$ также положительна. Это говорит о том, что у нас есть локальный минимум в $x = 0$.

2. Локальный максимум в $x = \frac{1}{2}$: Аналогично, вторая производная $y''\left(\frac{1}{2}\right) > 0$, но знак меняется с отрицательного перед $x = \frac{1}{2}$ на положительный после него. Это указывает на наличие локального максимума в $x = \frac{1}{2}$.

Итак, у нас есть локальный минимум в $x = 0$ и локальный максимум в $x = \frac{1}{2}$.

Следовательно, функция $y = 3x^4 - 2x^3 + 5$ имеет следующие промежутки монотонности и точки экстремума:

• Убывает на $(-\infty, 0)$.
• Минимум в $x = 0$.
• Возрастает на $(0, \frac{1}{2})$.
• Максимум в $x = \frac{1}{2}$.
• Убывает на $(\frac{1}{2}, +\infty)$.