Question

Помогите доказать тождество: (cos ^(2)alpha -sin ^(2)alpha )/(cos alpha -sin alpha )-tan alpha *cos alpha =cos alpha Подробно распишите, если не сложно)))

Answer 1

$\frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha }{cos\alpha-sin\alpha } -tg\alpha *cos\alpha =cos\alpha$

Попробуем привести левую часть к правой

$\frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha }{cos\alpha-sin\alpha } -tg\alpha *cos\alpha = \frac{(cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha ) }{cos\alpha-sin\alpha } -\frac{sin\alpha }{cos\alpha } *cos\alpha =$

$= cos\alpha + sin\alpha - sin\alpha = cos\alpha$

$cos\alpha=cos\alpha$

Тождество доказано

Answer 2

Конечно, давайте докажем это тождество шаг за шагом.

Исходное тождество: $\frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)} - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

Для начала, давайте выразим $\cos^2(\alpha)$ и $\sin^2(\alpha)$ через более общие тригонометрические функции: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$

Теперь подставим это в исходное тождество: $\frac{1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)} - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

Упростим числитель дроби: $\frac{1 - 2\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)} - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

Факторизуем числитель: $\frac{1 - 2\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)} = \frac{(1 - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha) - \sin(\alpha)} = \frac{(1 - \sin(\alpha))}{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))} \cdot (1 + \sin(\alpha))$

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим это: $\frac{(1 - \sin(\alpha))}{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))} \cdot (1 + \sin(\alpha)) - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

Упростим левую сторону: $(1 + \sin(\alpha)) - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha) \cdot (\cos(\alpha) - \sin(\alpha))$

Раскроем скобку справа: $(1 + \sin(\alpha)) - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha)$

Применим известное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) - \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$: $(1 + \sin(\alpha)) - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

Уберем $\cos(\alpha)$ из обеих сторон: $1 + \sin(\alpha) - \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 1$

Теперь добавим $\tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha)$