Question

Знайти перший член геометричної прогресії якщо b1 + b4 = 27 і b2 - b3 + b4 = 18​

Answer 1

От второго равенства отнимем первое

$\displaystyle \left \{ {{b_1+b_4=27} \atop {b_2-b_3-b_1=-9}} \right.;~\left \{ {{b_1+b_1q^3=27} \atop {b_1q-b_1q^2-b_1=-9}} \right.;~\left \{ {{b_1(1+q)(1-q+q^2)=27} \atop {b_1(1-q+q^2)=9}} \right.$

$9(1+q)=27\\ \\ 1+q=3\\ \\ q=2$

$b_1=\frac{27}{1+q^3}=\frac{27}{1+2^3}=3$

Answer 2

Позначимо перший член геометричної прогресії як "a" і знаменник прогресії як "r". Тоді за визначенням геометричної прогресії:

для першого члена: $b_1 = a$, для другого члена: $b_2 = ar$, для третього члена: $b_3 = ar^2$, для четвертого члена: $b_4 = ar^3$.

За даними маємо два рівняння:

1. $b_1 + b_4 = 27$ (1),
2. $b_2 - b_3 + b_4 = 18$ (2).

Підставимо вирази для $b_1$, $b_2$, $b_3$ та $b_4$ залежностями від $a$ та $r$ у відповідних рівняннях:

1. $a + ar^3 = 27$,
2. $ar - ar^2 + ar^3 = 18$.

Знайдемо спільний множник $r$:

$a(1 + r^3) = 27, \quad a(1 - r + r^2) = 18.$

Виразимо $a$ з першого рівняння:

$a = \frac{27}{1 + r^3}.$

Підставимо вираз для $a$ у друге рівняння:

$\frac{27}{1 + r^3} \cdot (1 - r + r^2) = 18.$

Множимо обидві сторони на $1 + r^3$ для позбавлення дробу:

$27 \cdot (1 - r + r^2) = 18 \cdot (1 + r^3).$

Розкриємо дужки:

$27 - 27r + 27r^2 = 18 + 18r^3.$

Помістимо всі члени в одну сторону рівняння:

$27r^3 - 27r^2 - 27r + 9 = 0.$

Поділимо обидві сторони на 9:

$3r^3 - 3r^2 - 3r + 1 = 0.$

Помітимо, що $r = 1$ є коренем цього рівняння. Знаючи це, ми можемо розділити рівняння на $(r - 1)$:

$(r - 1)(3r^2 + 3r - 1) = 0.$

Залишається розв'язати квадратне рівняння $3r^2 + 3r - 1 = 0$. Воно має два корені, але ми залишимось з коренем, що не дорівнює 1:

$r^2 + r - \frac{1}{3} = 0.$

Використаємо квадратне рівняння для знаходження $r$:

$r = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot \frac{1}{3}}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{7}{3}}}{2}.$

Отже, ми знайшли значення $r$, яке не дорівнює 1. Тепер можемо знайти значення $a$:

$a = \frac{27}{1 + r^3} = \frac{27}{1 + \left(\frac{-1 + \sqrt{\frac{7}{3}}}{2}\right)^3}.$