Question

ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ помогите срочно пожалуйста Пусть a1, a2, ...,a11 - возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что ai + aj +ak > as + at ,при i ≠ j ≠ k , s ≠ t Каково наименьшее возможное значение суммы a1 + a2, ...+ a11 ?

Answer 1

Ответ:

242

Объяснение:

Наименьшее возможное значение суммы трёх неравных членов равно $a_1+a_2+a_3$, наибольшее значение суммы двух членов равно $a_{10}+a_{11}$. Значит, если для этих членов неравенство выполняется, то и для любых других гарантированно выполняется.

Два соседних числа отличаются как минимум на 1, значит, $a_{10}\geqslant a_2+8$ и $a_{11}\geqslant a_3+8$.

$a_1+a_2+a_3>a_{10}+a_{11}\geqslant(a_2+8)+(a_3+8)\\a_1>16$

Наименьшее значение первого члена 17, тогда следующий член не меньше 18, третий - не меньше 19 и т.д.

Наименьшая сумма отсюда равна

$17+18+19+\cdots+27=\dfrac{17+27}2\cdot11=242,$

если, конечно, последовательность 17, 18, ..., 27 удовлетворяет условию

Легко проверить, что эта последовательность подходит: действительно, 17 + 18 + 19 = 54 > 53 = 26 + 27

Answer 2

Для нахождения наименьшего возможного значения суммы a1 + a2 + ... + a11 в данной последовательности, удовлетворяющей условию ai + aj + ak > as + at при i ≠ j ≠ k и s ≠ t, мы можем использовать жадный подход.

Давайте рассмотрим следующую последовательность: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11

Мы хотим, чтобы сумма трех чисел (ai + aj + ak) в любой комбинации была больше, чем сумма двух чисел (as + at) в любой комбинации, где i ≠ j ≠ k и s ≠ t.

Для достижения этого наименьшего возможного значения суммы, давайте выберем начальные 11 натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Теперь мы можем удовлетворить условию, выбрав тройки чисел (ai, aj, ak) так, чтобы их сумма была как можно больше. Например, мы можем выбрать следующие тройки:

(ai, aj, ak) = (11, 10, 9) (as, at) = (8, 7)

Теперь условие ai + aj + ak > as + at выполняется, и наша сумма будет минимальной:

a1 + a2 + ... + a11 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66

Таким образом, наименьшее возможное значение суммы a1 + a2 + ... + a11 равно 66.