Question

Найдите множество значений функций y=sin(arcctgx)

Answer 1

$y=\sin\mathrm{arcctg}x$

Множество значений функции $\mathrm{arcctg}x$:

$E(\mathrm{arcctg}x)=\left(0;\ \pi \right)$

Этот промежуток одновременно является областью определения для функции синуса. Найдем, какие значения может принимать функция $y=\sin z$ при $z\in\left(0;\ \pi \right)$.

При возрастании аргумента от $0$ до $\dfrac{\pi}{2}$ синус возрастает от $0$ до $1$.

При возрастании аргумента от $\dfrac{\pi}{2}$ до $\pi$ синус убывает от $1$ до $0$.

Учитывая, что граничные точки $0$ и $\pi$ не входили в область определения, граничная точка $0$ также не попадет в множество значений.

Таким образом:

$E(\sin\mathrm{arcctg}x)=\left(0;\ 1 \right]$

Ответ: $\left(0;\ 1 \right]$

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию $y = \sin(\text{arcctg} x)$, где $\text{arcctg} x$ обозначает арккотангенс (также известный как арккотангенс или $\text{arccot} x$).

Арккотангенс $\text{arcctg} x$ определяется как угол, чей котангенс равен $x$, то есть $\text{arcctg} x = \cot^{-1} x$.

Поскольку котангенс определен только на интервале $(-\pi/2, \pi/2)$, а арккотангенс возвращает значения на этом интервале, мы можем ограничить область значений $x$ арккотангенса этим интервалом.

Теперь, рассмотрим функцию $y = \sin(\text{arcctg} x)$ на этом интервале.

1. На интервале $(-\pi/2, \pi/2)$, арккотангенс возвращает значения углов между $-\pi/2$ и $\pi/2$.
2. Синус функции ограничен значениями от -1 до 1.

Таким образом, область значений функции $y = \sin(\text{arcctg} x)$ будет находиться в интервале $[-1, 1]$.

Итак, множество значений функции $y = \sin(\text{arcctg} x)$ - это интервал от -1 до 1: $[-1, 1]$.