Question

При каких значениях прямая имеет единственную общую точку с графиком функции ? ​

Answer 1

Из условия следует, что прямая $y=kx$ должна быть касательной к графику функции $y=(x-1)^2$.

В точках касания равны значения функции и их производные, т.е. имеет место система $\left \{ {{kx=(x-1)^2} \atop {(kx)'=((x-1)^2)'}} \right.$

$\left \{ {{kx=x^2-2x+1} \atop {k=2x-2}} \right.$

Подставим k из второго уравнения в первое:

$(2x-2)x=x^2-2x+1;\\\\2x^2-2x-x^2+2x-1=0;\\\\x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1$

Из равенства $k=2x-2$ получаем, что $k=\pm2-2=0; -4$

ОТВЕТ: k = -4, k = 0.

Answer 2

Для того чтобы прямая имела единственную общую точку с графиком функции, эта точка должна быть их единственным пересечением. Это означает, что значение функции в этой точке должно совпадать с уравнением прямой. Математически, это можно выразить следующим образом:

Пусть у нас есть прямая с уравнением y = mx + b, где m - коэффициент наклона прямой, а b - свободный член. И у нас есть функция с графиком, заданной уравнением y = f(x).

Чтобы найти значения x, при которых прямая и график функции имеют единственную общую точку, нужно приравнять уравнение прямой к уравнению функции:

mx + b = f(x)

Это уравнение позволит нам найти значения x, при которых прямая пересекает график функции. Однако единственная общая точка будет существовать только в случае, если существует решение данного уравнения и оно единственное.

Итак, чтобы найти значения x, при которых прямая имеет единственную общую точку с графиком функции, нужно решить уравнение mx + b = f(x) и проверить, что решение существует и единственно.