Question

Найти наибольшее возможное значение выражения 6cos(a) + 8sin(a)

Answer 1

Пусть $\cos \alpha=x,\; \sin\alpha=y$. Переформулируем задачу, сведя ее к параметру: найдите максимальное значение параметра $a$, при котором система $\left \{ {{6x+8y=a} \atop {x^2+y^2=1}} \right.$ имеет хотя бы одно решение. Первое уравнение задает прямую $y=\frac{a-6x}{8}$ в $x0y$, а второе — окружность с центром в начале координат радиусом 1. Заметим, что увеличивая $a$, мы поднимаем прямую, значит, максимальному $a$ соответствует случай касания прямой и окружности.

$OB=\frac{a}{8}, OA=\frac{a}{6}, OH=1$. По теореме Пифагора найдем $AB=\frac{5}{24}a$. При этом, очевидно: $AB\times OH=OB\times OA$, подставляем: $5a/24\times 1=a^2/48 \Rightarrow a=10$.

Ответ: 10

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения 6cos(a) + 8sin(a), мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами и определить максимальное значение амплитуды (гипотенузы) для синуса и косинуса.

Выражение 6cos(a) + 8sin(a) представляет собой комбинацию косинуса и синуса с коэффициентами 6 и 8 соответственно.

Мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

$\sqrt{a^2 + b^2} \geq |a|\cos(\theta) + |b|\sin(\theta)$

где $\theta$ - угол между вектором $(a, b)$ и положительным направлением оси $x$.

В данном случае, $a = 6$, $b = 8$. Мы хотим найти такой угол $\theta$, при котором будет достигнуто наибольшее значение выражения.

Максимальное значение $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$, и оно достигается при $\theta = \arctan\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Таким образом, наибольшее значение выражения 6cos(a) + 8sin(a) равно $10$.