Question

Найдите все пары целых чисел х и у, при которых справедливо равенство: x^2+2x=y^2+6

Answer 1

Ответ:

(x,y)={(-5;-3), (-5;3), (3;-3), (3;3)}

Объяснение:

Заметим, что $x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1$, сделаем замену z=x+1,

получаем уравнение: $z^2-1=y^2+6$, которое равносильно $z^2=y^2+7$, заметим, что выражение не зависит от знаков z и y, поэтому решим для целого неотрицательного z, если z>=5, то z^2-(z-1)^2=2z-1>=9, тогда заметим, что y<z, иначе $y^2+7 > z^2$, но тогда  $y^2+7\leq (z-1)^2+7 < (z-1)^2 + 2z + 1 = z^2$. Таким образом решения есть при z<=4, теперь рассмотрим все случаи:

z=0 ⇒ y^2=-7 нет решений

z=1  ⇒ y^2=-6 нет решений

z=2 ⇒ y^2=-3 нет решений

z=3 ⇒ y^2= 2 нет решений

z-4 ⇒ y^2= 9 ⇒ y=3 или -3

Так как z может быть как положительным, так и отрицательным, то получается четыре пары решений (z,y):

(-4;-3), (-4;3), (4;-3), (4;3) Теперь вспомним, что x=z-1, откуда получается 4 пары (x,y):

(-5;-3), (-5;3), (3;-3), (3;3)

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

Исходное уравнение: x^2 + 2x = y^2 + 6

Перепишем его в виде: x^2 + 2x - (y^2 + 6) = 0

Теперь рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной x:

x^2 + 2x - (y^2 + 6) = 0

Раскроем скобки:

x^2 + 2x - y^2 - 6 = 0

Для нахождения целочисленных решений этого уравнения мы можем применить критерий целочисленности дискриминанта квадратного уравнения.

Дискриминант D для данного уравнения равен:

D = (2)^2 - 4(1)(-y^2 - 6) = 4 + 4y^2 + 24 = 4y^2 + 28

Теперь, для того чтобы уравнение имело целочисленные решения, необходимо, чтобы дискриминант D был полным квадратом некоторого целого числа. То есть, существует такое целое число k, что D = k^2.

Выразим D через k:

4y^2 + 28 = k^2

Перенесем 28 на другую сторону:

4y^2 = k^2 - 28

Разделим обе части уравнения на 4:

y^2 = (k^2 - 28) / 4

y^2 = (k^2 - 7^2) / 4

y^2 = ((k + 7)(k - 7)) / 4

Теперь, чтобы найти целочисленные решения, нам нужно найти такие пары (k + 7, k - 7), что их произведение делится на 4.

Пары целых чисел (k + 7, k - 7), удовлетворяющие этому условию, могут быть следующими:

(k + 7, k - 7) = (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1)

Решим полученные уравнения для y:

1. (k + 7, k - 7) = (1, 4): k + 7 = 1, k - 7 = 4 k = -6, k = 11 Подставляем в исходное уравнение: y^2 = (-6 + 7)(-6 - 7) / 4 = 1 * (-13) / 4 = -13 / 4 (не целое число) y^2 = (11 + 7)(11 - 7) / 4 = 18 * 4 / 4 = 18

2. (k +