Question

Нерівність 8 клас, допоможіть будь ласка. Знайдіть найменше число x, яке задовольняє нерівність [x] * {x} ≥ 3. Тут [x] - ціла частина x, тобто найбільше ціле число, яке не перевищує x, а {x} = x - [x] — дробова частина числа x.​

Answer 1

Ответ: 4.75

Объяснение:

Очевидно, что для x>0

верно неравенство:

[x]*{x}<[x], поскольку 0<={x}<1

Таким образом, если x<4, то [x]<=3, то есть

[x]*{x}<[x]<=3

Значит, нужно искать x>=4

Попробуем найти такое число на промежутке: x∈[4;5)

На данном промежутке дробная часть числа возрастает с увеличением x.

На данном промежутке : [x] =4

[x]*{x}>=3

4*{x}>=3

{x}>=3/4=0.75

Таким образом, наименьшее x, которое удовлетворяет неравенству

[x]*{x}>=3, это число x=4.75

Примечание: x<=0 рассматривать нет смысла, так как в этом случае: [x]<=0 , а  {x} >= 0 (да, дробная часть всегда положительна, даже для отрицательных чисел) → [x]*{x}<=0, что нас не устраивает.

Answer 2

Давайте розглянемо дану нерівність крок за кроком:

[x] * {x} ≥ 3

З огляду на властивості цілої і дробової частини числа, ми можемо записати:

[x] * (x - [x]) ≥ 3

Враховуючи, що [x] - ціле число, максимальне ціле число, яке не перевищує x, буде наступним цілим числом, меншим або рівним x. Тобто:

[x] ≤ x

Тепер ми можемо записати нерівність як:

x * (x - [x]) ≥ 3

Ми шукаємо найменше число x, яке задовольняє цю нерівність. Щоб знайти це число, розглянемо декілька випадків:

1. Якщо x є цілим числом, тобто x = [x], тоді нерівність стає:

x * (x - x) ≥ 3

Це означає, що 0 ≥ 3, що не є правдою. Тому x не може бути цілим числом.

2. Якщо x не є цілим числом, тобто x ≠ [x], тоді ми можемо записати x у вигляді:

x = [x] + {x}

Тоді нерівність стає:

([x] + {x}) * {x} ≥ 3

Розкриємо дужки:

[x]{x} + {x}^2 ≥ 3

Так як [x] є цілим числом, {x} буде менше 1:

[x]{x} < [x]

Отже, нерівність може бути переписана як:

[x] < 3

Ми шукаємо найменше ціле число [x], яке задовольняє цю нерівність. Найбільше ціле число, яке не перевищує 3, є 3 саме. Тому [x] = 3.

Підставимо [x] = 3 у нашу попередню рівність:

3 < 3

Це не є правдою. Отже, немає такого числа x, яке задовольняє дану нерівність.

Отже, немає розв'язку для найменшого числа x, яке задовольняє нерівність [x] * {x} ≥ 3.