Question

В сектор AOB радиуса R с центральным углом 2α вписали прямоугольник наибольшей площади, симметричный оси симметрии сектора. Найдите площадь такого прямоугольника.

Answer 1

Пусть в сектор $\mathrm{AOB}$ вписан прямоугольник $\mathrm{KLMN}$. $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ - середины сторон $\mathrm{KL}$ и $\mathrm{MN}$ соответственно. Так как прямоугольник симметричен оси симметрии сектора, то две его стороны перпендикулярны этой оси, а две другие стороны - параллельны этой оси.

Так как прямоугольник симметричен оси симметрии сектора, то:

$\mathrm{\angle\ AOC=\angle\ BOC=\alpha}$

Проведем луч $\mathrm{ON}$, составляющий с осью симметрии сектора угол $x$. Зададим ограничения на х: $x\in[0;\ \alpha ]$

Найдем сторону прямоугольника, перпендикулярную оси симметрии сектора.

Рассмотрим треугольник $\mathrm{OQN}$. Запишем соотношение для синуса угла х:

$\sin x=\mathrm{\dfrac{QN}{ON}}$

Заметим, что $\mathrm{ON}$ соответствует радиусу сектора. Тогда, выражение для $\mathrm{QN}$ примет вид:

$\mathrm{QN}=R\cdot\sin x$

Так как $\mathrm{QN}$ - половина стороны $\mathrm{MN}$, то найдена первая сторона прямоугольника:

$\mathrm{MN}=2R\cdot\sin x$

Найдем сторону прямоугольника, параллельную оси симметрии сектора. Представим ее длину в виде:

$\mathrm{LM=KN=PQ=OQ-OP}$

Длину  найдем из того же прямоугольного треугольника $\mathrm{OQN}$, записав выражение для косинуса угла $x$:

$\cos x=\mathrm{\dfrac{OQ}{ON}}$

Выражаем $\mathrm{OQ}$:

$\mathrm{OQ}=R\cdot \cos x$

Длину $\mathrm{OP}$ найдем из прямоугольного треугольника $\mathrm{OPK}$. Запишем выражение для тангенса угла $\alpha$:

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{\dfrac{PK}{OP} }$

Откуда:

$\mathrm{OP=\dfrac{PK}{\mathrm{tg}\alpha} }$

Так как $\mathrm{PK=QN}$, то:

$\mathrm{OP}=\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}$

Таким образом, найдена вторая сторона прямоугольника:

$\mathrm{LM}=R\cdot \cos x-\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}$

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

$S=\mathrm{MN\cdot LM}$

$S=2R\cdot\sin x\cdot\left(R\cdot \cos x-\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\sin x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

Найдем производную:

$S'=2R^2\cdot(\sin x)'\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)+2R^2\cdot\sin x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)'$

$S'=2R^2\cdot\cos x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)+2R^2\cdot\sin x\cdot\left(-\sin x-\dfrac{\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos^2 x-\dfrac{\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}-\sin^2 x-\dfrac{\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos^2 x-\sin^2 x-\dfrac{2\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

Приравняем производную к нулю:

$2R^2\cdot\left( \cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=0$

$\cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha }=0$

$\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha }= \cos2x$

$\sin 2x= \cos2x\mathrm{tg}\alpha$

$\mathrm{tg}2x= \mathrm{tg}\alpha$

Учитывая ограничения $x\in[0;\ \alpha ]$ получим, что:

$x=\dfrac{\alpha }{2}$

Проверим, является ли эта точка точкой экстремума.

Найдем значение производной при $x=0$:

$S'=2R^2\cdot\left( \cos0-\dfrac{\sin 0}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\left( 1-0\right)=2R^2$

Найдем значение производной при $x=\alpha$:

$S'=2R^2\cdot\left( \cos2\alpha -\dfrac{\sin 2\alpha }{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\left( \cos2\alpha -\dfrac{2\sin \alpha \cos^2\alpha }{\sin\alpha}\right)=$

$=2R^2\cdot\left( 2\cos^2\alpha-1 -2\cos^2\alpha \right)=2R^2\cdot\left( -1 \right)=-2R^2$

При переходе через точку $x=\dfrac{\alpha }{2}$ производная меняет знак с плюса на минус. Значит, это точка максимума.

Найдем значение максимума:

$S\left(\dfrac{\alpha }{2}\right)=2R^2\cdot\sin \dfrac{\alpha }{2}\cdot\left( \cos \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\sin \dfrac{\alpha }{2}}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=$

$=R^2\left( 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{2\sin^2 \dfrac{\alpha }{2}}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=R^2\left( \sin \alpha-\dfrac{2\cdot\dfrac{1-\cos\alpha }{2}} {\mathrm{tg}\alpha}\right)=$

$=R^2\left( \sin \alpha-\dfrac{1-\cos\alpha} {\mathrm{tg}\alpha}\right)=R^2\left( \sin \alpha-\dfrac{(1-\cos\alpha)\cos\alpha } {\sin\alpha}\right)=$

$=R^2\cdot \dfrac{\sin^2\alpha -(1-\cos\alpha)\cos\alpha } {\sin\alpha}=R^2\cdot\dfrac{\sin^2\alpha -\cos\alpha+\cos^2\alpha } {\sin\alpha}=$

$=R^2\cdot\dfrac{1 -\cos\alpha } {\sin\alpha}=R^2\cdot\mathrm{tg}\dfrac{\alpha }{2}$

Значит, наибольшая площадь прямоугольника равна $R^2\cdot\mathrm{tg}\dfrac{\alpha }{2}$

Ответ: $R^2\cdot\mathrm{tg}\dfrac{\alpha }{2}$

Answer 2

Пусть дан сектор AOB радиуса R с центральным углом 2α. Мы хотим вписать в этот сектор прямоугольник наибольшей площади, который симметричен относительно оси симметрии сектора. Пусть длины сторон прямоугольника будут a и b, где a - это ширина прямоугольника, а b - это его длина.

Так как прямоугольник симметричен относительно оси симметрии сектора, то его центр будет находиться на радиусе симметрии прямоугольника и будет равноудален от сторон сектора AOB. Это означает, что точка центра прямоугольника будет находиться на середине радиуса, то есть на расстоянии R/2 от центра сектора O.

Теперь мы можем нарисовать поперечное сечение сектора и вписанного в него прямоугольника:

cssCopy code
             A-----+-----B
              |   / |
              | /   |
             O-----C

Здесь OC = R/2 - расстояние от центра сектора до центра прямоугольника.

Мы видим, что треугольник OAC - прямоугольный. Из него мы можем выразить b (длину прямоугольника) через OC:

b = 2 * OC * tan(α).

Площадь прямоугольника S = a * b = a * 2 * OC * tan(α).

Чтобы максимизировать площадь S, мы можем продифференцировать её по a и приравнять производную к нулю:

dS/da = 2 * OC * tan(α) = 0.

Так как OC ≠ 0, то tan(α) должен быть равен 0, что означает, что α = 0. То есть, центральный угол сектора равен нулю, и это приводит к случаю, когда весь сектор AOB становится прямой линией AO.

В этом случае, для максимизации площади прямоугольника, мы можем взять прямоугольник как наибольшую сторону сектора, то есть брать длину прямоугольника равной R и ширину a = 0 (то есть прямоугольник становится линией). Таким образом, площадь такого прямоугольника будет равна 0.

Итак, в случае сектора AOB радиуса R с центральным углом 2α, вписанного прямоугольника наибольшей площади не существует (если симметрия по отношению к оси симметрии сектора сохраняется).