Question

Доказать, что число a делится на m, если:1) a=5*2^51 + 21*32^45 m=31

Answer 1

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

$a+c \equiv b + d \ (mod \ m)$

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

$ac \equiv bd \ (mod \ m)$

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

$a = 5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45}$

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, $16 \equiv (-1) \ (mod \ 17)$, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что $32 \equiv 1 \ (mod \ 31)$, получаем

$5\cdot 2^{51} = 5\cdot 2^1 \cdot 2^{50}=10 \cdot 2^{10\cdot 5} = 10 \cdot (2^{5})^{10}= 10\cdot 32^{10} \equiv 10 \cdot 1^{10} \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

$21\cdot 32^{45} \equiv 21 \cdot 1^{45}\ (mod \ 31) \equiv 21 \ (mod \ 31)$

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

$5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45} \equiv 10+21 \ (mod \ 31) \equiv 31 \ (mod \ 31) \equiv 0 \ (mod \ 31)$

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что число a делится на m, вам нужно показать, что a является кратным m, то есть a = k * m для некоторого целого числа k.

В данном случае, a = 5 * 2^51 + 21 * 32^45, m = 31.

Прежде чем начать, заметим, что 32^45 можно записать как (2^5)^45, что равно 2^(5 * 45) = 2^225.

Теперь давайте выразим a в терминах степеней двойки: a = 5 * 2^51 + 21 * 2^225.

Мы видим, что в обоих слагаемых присутствует степень двойки. Мы также знаем, что 2^5 = 32, поэтому мы можем записать 2^225 как (2^5)^45.

a = 5 * 2^51 + 21 * (2^5)^45.

Теперь мы можем применить свойство степени a^m * a^n = a^(m + n): a = 5 * 2^51 + 21 * 2^(5 * 45).

a = 5 * 2^51 + 21 * 2^225.

Теперь давайте рассмотрим выражение более подробно. Мы видим, что оба слагаемых содержат множитель 2^51, что делает a кратным 2^51.

Теперь посмотрим на множитель 21 * 2^225. Мы знаем, что 21 кратно 7 (21 = 7 * 3), и 2^225 является степенью двойки.

Таким образом, 21 * 2^225 делится на 7, и, следовательно, a также кратно 7.

Так как a кратно как 2^51, так и 7, оно также кратно их произведению, то есть 2^51 * 7.

Теперь давайте проверим, делится ли 2^51 * 7 на 31. Для этого давайте разложим 31 на простые множители: 31 = 1 * 31.

Мы видим, что в разложении 2^51 * 7 на простые множители отсутствует 31.

Следовательно, число a = 5 * 2^51 + 21 * 2^225 не делится на 31.

Извините, но в вашем исходном утверждении ошибка. Число a не делится на 31.