Question

F(x)=3+9x^2-x^3 Інтервали монотоности

Answer 1

/////////////////////////////////////////

Answer 2

Щоб знайти інтервали монотонності функції F(x) = 3 + 9x^2 - x^3, треба вивчити знак похідної функції на різних інтервалах. Похідна допомагає визначити, як змінюється нахил функції і чи зростає/спадає вона на певних діапазонах значень x.

Спочатку знайдіть похідну функції F(x): F'(x) = d/dx (3 + 9x^2 - x^3) F'(x) = 18x - 3x^2

Тепер, знайдімо точки, де похідна дорівнює нулю: 18x - 3x^2 = 0 3x(6 - x) = 0

З цього випливає, що x = 0 або x = 6.

Тепер розглянемо інтервали між цими точками: x < 0, 0 < x < 6, x > 6.

1. Інтервал x < 0: Підставляючи довільне від'ємне значення x (наприклад, x = -1) у F'(x), отримуємо: F'(-1) = 18(-1) - 3(-1)^2 = -18 - 3 = -21 (від'ємне)

2. Інтервал 0 < x < 6: Підставляючи довільне додатнє значення x (наприклад, x = 2) у F'(x), отримуємо: F'(2) = 18(2) - 3(2)^2 = 36 - 12 = 24 (додатнє)

3. Інтервал x > 6: Підставляючи довільне значення x більше за 6 (наприклад, x = 7) у F'(x), отримуємо: F'(7) = 18(7) - 3(7)^2 = 126 - 147 = -21 (від'ємне)

Отже, на інтервалах:

• x < 0: Функція F(x) спадає (монотонно спадає).
• 0 < x < 6: Функція F(x) зростає (монотонно зростає).
• x > 6: Функція F(x) спадає (монотонно спадає).

Всі ці висновки ґрунтуються на аналізі знаків похідної F'(x) на відповідних інтервалах.