Question

Найти облась допустимых значений, найти производную, решить уравнение, на числовую прямую нанести значения, определить промежутки монотоности: f(x)=16/9-x^2

Answer 1

Решено$\checkmark$

Answer 2

Для начала, давайте найдем область допустимых значений функции f(x). Область допустимых значений определяется ограничениями на переменные в функции. В данном случае, у нас есть функция f(x) = 16/(9 - x^2).

Область допустимых значений:

Чтобы найти область допустимых значений, мы должны исключить значения переменной x, которые делают знаменатель равным нулю. В данном случае, знаменатель равен (9 - x^2), поэтому мы должны исключить значения, при которых (9 - x^2) = 0.

Давайте решим это уравнение: 9 - x^2 = 0

Вычитаем 9 из обеих сторон: -x^2 = -9

Умножаем обе стороны на -1, чтобы изменить знак: x^2 = 9

Возведем обе стороны в квадратный корень: x = ±√9

x = ±3

Таким образом, значения переменной x, при которых знаменатель (9 - x^2) равен нулю, это x = -3 и x = 3. Следовательно, область допустимых значений для функции f(x) = 16/(9 - x^2) - это все значения x, кроме x = -3 и x = 3.

Производная функции:

Теперь давайте найдем производную функции f(x). Производная функции показывает, как изменяется функция со временем, или как быстро функция меняется в зависимости от значения переменной.

Для нахождения производной функции f(x), мы используем правило дифференцирования для частного функций.

Правило дифференцирования частного функций: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

В нашем случае, u = 16, v = (9 - x^2). Давайте найдем производные u' и v':

u' = 0 (производная константы равна нулю)

v' = d/dx (9 - x^2) = -2x

Теперь, используя правило дифференцирования частного функций, мы можем найти производную f'(x):

f'(x) = (u'v - uv') / v^2 = (0 * (9 - x^2) - 16 * (-2x)) / (9 - x^2)^2 = (32x) / (9 - x^2)^2

Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = (32x) / (9 - x^2)^2.

Решение уравнения:

Теперь давайте решим уравнение f(x) = 0.

Уравнение f(x) = 16/(9 - x^2) = 0 будет выполнено, если числитель равен нулю, то есть 16 = 0.

Однако, 16 ≠ 0, поэтому уравнение f(x) = 0 не имеет решений.

Значения на числовой прямой и промежутки монотонности:

Теперь давайте построим числовую прямую и определим значения функции f(x) на этой прямой, а также промежутки монотонности.

Мы уже знаем, что область допустимых значений для функции f(x) - это все значения x, кроме x = -3 и x = 3.

Давайте построим числовую прямую и отметим на ней эти значения:

  -∞    -3    3    +∞
   |-----|-----|-----|

Теперь, чтобы определить значения функции f(x) на числовой прямой, мы можем выбрать значения x в каждом из промежутков между значениями -∞, -3, 3 и +∞, и подставить их в функцию f(x).

Давайте выберем несколько значений:

- При x = -4: f(-4) = 16/(9 - (-4)^2) = 16/(9 - 16) = 16/-7 - При x = -2: f(-2) = 16/(9 - (-2)^2) = 16/(9 - 4) = 16/5 - При x = 0: f(0) = 16/(9 - 0^2) = 16/9 - При x = 2: f(2) = 16/(9 - 2^2) = 16/(9 - 4) = 16/5 - При x = 4: f(4) = 16/(9 - 4^2) = 16/(9 - 16) = 16/-7

Таким образом, значения функции f(x) на числовой прямой это:

  -∞    -3    3    +∞
   |-----|-----|-----|
    -7/16  16/5  16/9  -7/16

Чтобы определить промежутки монотонности, мы можем проанализировать знак производной функции f'(x) в каждом из промежутков между значениями -∞, -3, 3 и +∞.

Мы уже знаем, что производная функции f'(x) = (32x) / (9 - x^2)^2.

Давайте рассмотрим знак производной функции f'(x) в каждом из промежутков:

- В промежутке (-∞, -3): Подставим x = -4 в f'(x) = (32x) / (9 - x^2)^2. Получим f'(-4) = (32 * -4) / (9 - (-4)^2)^2 = -128 / (9 - 16)^2 = -128 / (-7)^2 = -128 / 49. Знак производной отрицательный.

- В промежутке (-3, 3): Подставим x = -2 в f'(x) = (32x) / (9 - x^2)^2. Получим f'(-2) = (32 * -2) / (9 - (-2)^2)^2 = -64 / (9 - 4)^2 = -64 / 5^2 = -64 / 25. Знак производной отрицательный.

- В промежутке (3, +∞): Подставим x = 4 в f'(x) = (32x) / (9 - x^2)^2. Получим f'(4) = (32 * 4) / (9 - 4^2)^2 = 128 / (9 - 16)^2 = 128 / (-7)^2 = 128 / 49. Знак производной положительный.

Таким образом, промежутки монотонности функции f(x) на числовой прямой это:

  -∞    -3    3    +∞
   |-----|-----|-----|
   (-∞, -3)  (-3, 3)  (3, +∞)

В промежутках (-∞, -3) и (-3, 3) функция f(x) убывает, а в промежутке (3, +∞) функция f(x) возрастает.