Question

. Сумма положительных чисел а и b равна 50. При каких значениях а и b их произведение будет наибольшим? (я видела ответы на этот вопрос, но я не понимаю, что значит найдём через производную?)

Answer 1

Объяснение:

$a+b=50\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ b=50-a\\a*b=a*(50-a)=50a-a^2=-(a^2-50a)=-(a^2-2*a*25+25^2-25^2)=\\=-((a-25)^2-25^2)=25^2-(a-25)^2=625-(a-25)^2.$

Выражение (a-25)²≥0,   ⇒   чтобы выражение 625-(a-25)² было  наибольшим, нужно, чтобы выражение (а-25)² было наименьшим.

В нашем случае оно должно равняться нулю:

$(a-25)^2=0\\a-25=0\\a=25\ \ \ \ \Rightarrow\\b=50-25=25.$

Ответ: a=25     b=25.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу о максимизации произведения двух чисел с заданным условием, что их сумма равна 50:

Пусть у нас есть два положительных числа: a и b, сумма которых равна 50: a + b = 50.

Мы хотим найти такие значения a и b, чтобы их произведение a*b было максимальным.

Для решения этой задачи с использованием производной, нужно воспользоваться методом оптимизации, а именно методом нахождения критических точек функции (в данном случае функции произведения a*b) в пределах заданного ограничения (условие суммы a + b = 50).

1. Выразим одну из переменных через другую из условия a + b = 50, например, a = 50 - b.

2. Теперь функция, которую мы хотим максимизировать, это произведение a*b = (50 - b) * b = 50b - b^2.

3. Найдем производную этой функции по b: (50b - b^2)' = 50 - 2b.

4. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 50 - 2b = 0. Отсюда получаем b = 25.

5. Подставим значение b = 25 в исходное уравнение a + b = 50, чтобы найти соответствующее значение a: a = 50 - 25 = 25.

Таким образом, при a = 25 и b = 25, произведение a*b будет наибольшим при заданном условии суммы a + b = 50.

Это решение можно интерпретировать следующим образом: чтобы получить наибольшее произведение при фиксированной сумме, числа a и b должны быть как можно ближе друг к другу.