Question

Разложите многочлен на множители с целыми коэффициентами максимально понятно: 2x^3+5x^2+x-2 Заранее спасибо.

Answer 1

Ответ: 2*x³+5*x²+x-2=(x+1)*(x+2)*(2*x-1).

Объяснение:

Запишем данный многочлен в виде 2*(x³+5/2*x²+1/2*x-1). Для того, чтобы разложить многочлен в скобках на множители, нужно решить уравнение x³+5/2*x²+1/2*x-1=0. Это - приведённое кубическое уравнение, поэтому одним из его целых корней (если они есть) может быть целый делитель свободного члена данного уравнения, то есть числа -1. Таких делителей всего два: 1 и -1. Подставляя значения x=1 и x=-1 в данное уравнение, находим, что число x=1 не является корнем уравнения, а число x=-1 - является. Теперь разделим многочлен x³+5/2*x²+1/2*x-1  на двучлен x-(-1)=x+1. После этого получим тождество x³+5/2*x²+1/2*x-1=(x+1)*(x²+3/2*x-1). Теперь разложим на множители квадратный трёхчлен x²+3/2*x-1, для чего нужно решить уравнение x²+3/2*x-1=0. Оно имеет корни x1=1/2 и x2=-2, поэтому x²+3/2*x-1=0=(x-1/2)*(x+2). Тогда x³+5/2*x²+1/2*x-1=(x+1)*(x-1/2)*(x+2) и окончательно 2*x³+5*x²+x-2=(x+1)*(x+2)*(2*x-1).

Answer 2

Конечно, я помогу вам разложить данный многочлен на множители. Ваш многочлен:

2x^3 + 5x^2 + x - 2

Шаг 1: Попробуем вынести общий множитель, если он есть. Найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов многочлена, который можно вынести за скобку. В данном случае, НОД коэффициентов 2, 5, 1 и -2 равен 1. Это означает, что общего множителя с коэффициентами нет.

Шаг 2: Используем метод группировки. Мы можем разделить многочлен на две группы и попробовать вынести общий множитель из каждой группы.

2x^3 + 5x^2 + x - 2

= (2x^3 + 5x^2) + (x - 2)

= x^2(2x + 5) + 1(x - 2)

Теперь у нас есть две группы. Мы видим, что в первой группе есть общий множитель x^2, а во второй группе общего множителя нет.

Шаг 3: Факторизуем обе группы:

Первая группа: x^2(2x + 5) - это уже разложено на множители.

Вторая группа: 1(x - 2) - это также разложено на множители.

Итак, факторизованный многочлен: 2x^3 + 5x^2 + x - 2 = x^2(2x + 5) + 1(x - 2)

Вы можете дальше упростить запись, если это необходимо, но это уже разложение на множители с целыми коэффициентами.