Question

Срочно! Вычислите площадь фигуры, ограниченной на отрезке [0;1] графиком функции f(x)=х и на отрезке [1;2] графиком функции g(x) = x2 - 4x + 4 и осью Ox

Answer 1

1. Нужно найти определенный  интеграл от 0 до 1 от функции х, т.е. в х³/3-2х²+4х-х²/2 подставим верхний и нижний пределы и по формуле Ньютона-Лейбница найдем искомую площадь.

1/8-2+4-1/2-0=2-3/8=1  5/8

на отрезке [1;2]  площадь равна x³/3 - 2x² + 4х, подставим пределы интегрирования. получим 8/3-8+8-(1/3-2+4)=8/3-2 1/3=1/3

Answer 2

Для вычисления площади между кривыми графиков функций f(x) и g(x) на указанных отрезках, необходимо найти точки их пересечения. Первоначально определим, где они пересекаются:

f(x) = x g(x) = x^2 - 4x + 4

Для пересечения этих функций, приравняем их: x = x^2 - 4x + 4

Переносим все в одну сторону: x^2 - 5x + 4 = 0

Факторизуем уравнение: (x - 1)(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 1 и x = 4.

Теперь рассмотрим отрезки [0;1] и [1;2] отдельно:

1. На отрезке [0;1] функции f(x) и g(x) ограничивают фигуру, и площадь этой части будет интегралом от разности g(x) и f(x) на этом отрезке: S1 = ∫[0,1] (g(x) - f(x)) dx S1 = ∫[0,1] (x^2 - 4x + 4 - x) dx S1 = ∫[0,1] (x^2 - 5x + 4) dx

2. На отрезке [1;2] функция g(x) ограничивает фигуру, и площадь этой части будет интегралом от функции g(x): S2 = ∫[1,2] g(x) dx S2 = ∫[1,2] (x^2 - 4x + 4) dx

Для вычисления интегралов, найдем первообразные функций и подставим пределы интегрирования:

1. S1 = ∫(x^2 - 5x + 4) dx = (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 4x | [0,1] S1 = (1/3)(1)^3 - (5/2)(1)^2 + 4(1) - ((1/3)(0)^3 - (5/2)(0)^2 + 4(0)) S1 = 1/3 - 5/2 + 4 = -11/6

2. S2 = ∫(x^2 - 4x + 4) dx = (1/3)x^3 - 2x^2 + 4x | [1,2] S2 = (1/3)(2)^3 - 2(2)^2 + 4(2) - ((1/3)(1)^3 - 2(1)^2 + 4(1)) S2 = 8/3 - 8 + 8 - (1/3 - 2 + 4) S2 = 19/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x) на отрезках [0;1] и [1;2], равна сумме площадей обеих частей: S = S1 + S2 = -11/6 + 19/3 = 31/6.

Поэтому площадь этой фигуры составляет 31/6 или около 5.17 единиц квадратных.