Question

|(x^2-5x+4)/(x^2-4)|<=1 решить методом интервалов

Answer 1

вот.................. .....

Answer 2

Давайте разберёмся с этим неравенством методом интервалов.

Начнем с определения области допустимых значений для переменной x. Обратите внимание, что в знаменателе у нас есть выражение $x^2 - 4$, которое не должно обращаться в ноль, так как это приведет к делению на ноль. Это означает, что $x$ не может принимать значения $x = -2$ и $x = 2$.

Итак, наша область допустимых значений для $x$ будет $(- \infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь рассмотрим числитель дроби $x^2 - 5x + 4$ и попробуем выразить его в виде произведения множителей: $x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1)$

Затем рассмотрим знаменатель дроби $x^2 - 4$ и также выразим его в виде произведения множителей: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Теперь мы можем записать исходное неравенство в виде: $\frac{(x - 4)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 1$

Мы видим, что неравенство включает знак меньше или равно, поэтому нам нужно найти значения $x$, при которых дробь меньше или равна 1.

Рассмотрим интервалы между корнями многочленов $x - 4$, $x - 1$, $x - 2$ и $x + 2$, а именно $(- \infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, +\infty)$.

1. В интервале $(- \infty, -2)$:

   • В числителе оба множителя $(x - 4)$ и $(x - 1)$ отрицательны.
   • В знаменателе множители $(x - 2)$ и $(x + 2)$ оба отрицательны.
   • В итоге дробь положительна.
   • Условие $f(x) \leq 1$ не выполняется.

2. В интервале $(-2, 1)$:

   • В числителе только множитель $(x - 1)$ отрицателен, а $(x - 4)$ положителен.
   • В знаменателе множители $(x - 2)$ и $(x + 2)$ оба отрицательны.
   • В итоге дробь отрицательна.
   • Условие $f(x) \leq 1$ выполняется.

3. В интервале $(1, 2)$:

   • В числителе оба множителя $(x - 4)$ и $(x - 1)$ положительны.
   • В знаменателе множители $(x - 2)$ и $(x + 2)$ оба отрицательны.
   • В итоге дробь положительна.
   • Условие $f(x) \leq 1$ не выполняется.

4. В интервале $(2, +\infty)$:

   • В числителе оба множителя $(x - 4)$ и $(x - 1)$ положительны.
   • В знаменателе множители $(x - 2)$ и $(x + 2)$ оба положительны.
   • В итоге дробь положительна.
   • Условие $f(x) \leq 1$ не выполняется.

Итак, единственный интервал, в котором неравенство $f(x) \leq 1$ выполняется, это $(-2, 1)$.

Таким образом, решением данного неравенства $\frac{(x^2 - 5x + 4)}{(x^2 - 4)} \leq 1$ является интервал $(-2, 1)$.