Question

Розв`яжiть рiвняння |x - 3a| + |2x + a -1| = 0 для всiх значень параметра а

Answer 1

Розв'яжiть рiвняння $|x-3a|+|2x+a-1|=0$ для всiх значень параметра $a$

Answer 2

Спершу давайте розглянемо різні випадки в залежності від значень параметра a.

1. Якщо a > 0:

   Рівняння |x - 3a| + |2x + a - 1| = 0 в цьому випадку можна розглядати як суму двох модулів, які обидва повинні бути рівні нулю (оскільки модуль не може бути від'ємним). Отже:

   x - 3a = 0 => x = 3a 2x + a - 1 = 0 => 2x = 1 - a => x = (1 - a)/2

   Оскільки обидва вирази мають представляти одне і те ж значення x, то:

   3a = (1 - a)/2

   Розв'язавши це рівняння відносно a:

   6a = 1 - a 7a = 1 a = 1/7

   Отже, при a = 1/7 рівняння має розв'язок.

2. Якщо a = 0:

   В цьому випадку рівняння спрощується:

   |x| + |2x - 1| = 0

   Для того, щоб сума модулів була рівна нулю, обидва вирази всередині модулів також повинні бути рівні нулю:

   x = 0 2x - 1 = 0 => x = 1/2

   Але це неможливо, тому що x не може бути одночасно рівним 0 і 1/2. Отже, при a = 0 рівняння не має розв'язків.

3. Якщо a < 0:

   В цьому випадку ми знову маємо суму двох модулів. Однак, зауважимо, що вирази всередині модулів завжди будуть від'ємними через від'ємне значення параметра a. Тому ми можемо записати:

   |x - 3a| + |2x + a - 1| = -(x - 3a) - (2x + a - 1) = -3x + 3a - 2x - a + 1 = -5x + 4a + 1

   Щоб це було рівне нулю, a = -1/4.

Таким чином, рівняння має розв'язки лише при a = 1/7 та a = -1/4.