Question

Решите уравнение 2(sinx/3 cospi/5-cosx/3 sinpi/5)=корень из 2​

Answer 1

$2( \sin( \frac{x}{3} ) \cos( \frac{\pi}{5} ) - \cos( \frac{x}{3} ) \sin( \frac{\pi}{5} ) ) = \sqrt{2} \\ 2( \sin( \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} ) ) = \sqrt{2} \\ \sin( \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{x}{3} - \frac{\pi}{5} = ( - 1) {}^{n} \arcsin( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) + \pi n \\ \frac{x}{3} = ( - 1) {}^{n} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n \\ x = ( - 1) {}^{n} \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{5} + 3\pi n, \: n \in \mathbb Z$

Answer 2

Давайте посмотрим на данное уравнение:

$2 \left( \frac{\sin x}{3} \cos\frac{\pi}{5} - \frac{\cos x}{3} \sin\frac{\pi}{5} \right) = \sqrt{2}$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения этого уравнения. Заметим, что угол $\frac{\pi}{5}$ является частью треугольника, в котором соотношения сторон равны $\cos \frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$. Теперь давайте подставим эти значения:

$2 \left( \frac{\sin x}{3} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{4} - \frac{\cos x}{3} \cdot \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \right) = \sqrt{2}$

Упростим выражение:

$\frac{\sqrt{5} \sin x}{6} - \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \cos x}{12} = \sqrt{2}$

Теперь мы можем использовать тождество $\sin(α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ для упрощения синуса и косинуса:

$\sin(x - \theta) = \frac{\sqrt{5} \sin x}{6} - \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \cos x}{12}$

где $\theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}} \right)$.

Теперь у нас есть:

$\sin(x - \theta) = \sqrt{2}$

Чтобы решить это уравнение относительно $x$, нужно найти такие углы $x$ и $\theta$, для которых выполняется это равенство. Это можно сделать с помощью обратной функции синуса:

$x - \theta = \arcsin(\sqrt{2})$

$x = \arcsin(\sqrt{2}) + \theta$