Question

Решите задачу спомощью системы уравнений.найдите площадь прямоугольного триугольника,гипотенуза которого равна 15см,а пириметр этого треугольника равен 36 см​

Answer 1

Дано:

ΔABC, AC - гипотенуза

AC = 15 см

$P_{ABC}$ = 36 см

Найти:$S_{ABC}$

Решение:

Пусть a - гипотенуза,b- первый катет,c- второй катет, тогда составим и решим систему уравнений

a + b + c = 36

a = 15

b + c = 21

a = 15

(b + c)^2 = 21^2

a^2 = b^2 + c^2

a = 15

b^2 + 2bc + c^2 = 21^2

a^2 = b^2 + c^2

a^2 = 15^2

2bc = 21^2 - 15^2

bc = 216/2

bc = 108

bc/2 = 54 см^2

Так как $S_{ABC}$ = $\frac{b*c}{2}$, то $S_{ABC}$ = 54 см^2

Ответ:54 см^2

Answer 2

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a$ и $b$ - это длины катетов, а $c$ - длина гипотенузы.

Известно, что гипотенуза $c = 15$ см и периметр $P = 36$ см. Периметр треугольника выражается как сумма длин всех его сторон:

$P = a + b + c$

Подставляя известные значения, получаем:

$36 = a + b + 15$

Отсюда можно выразить одну из сторон (катет) через другую:

$a + b = 36 - 15 = 21$ $a = 21 - b$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая для прямоугольного треугольника гласит:

$c^2 = a^2 + b^2$

Подставляем известные значения:

$15^2 = (21 - b)^2 + b^2$

Раскрываем скобки:

$225 = 441 - 42b + b^2 + b^2$

Упрощаем уравнение:

$2b^2 - 42b + 216 = 0$

Делим все члены уравнения на 2:

$b^2 - 21b + 108 = 0$

Факторизуем уравнение:

$(b - 9)(b - 12) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $b = 9$ и $b = 12$.

Если $b = 9$, то $a = 21 - 9 = 12$. Если $b = 12$, то $a = 21 - 12 = 9$.

Поэтому есть два варианта треугольников: один с катетами 9 см и 12 см, и второй с катетами 12 см и 9 см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить с помощью формулы:

$S = \frac{1}{2} \times a \times b$

Подставляем значения:

Для первого варианта: $S_1 = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ кв. см. Для второго варианта: $S_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54$ кв. см.

Итак, площадь прямоугольного треугольника в обоих вариантах равна 54 кв. см.