Question

Розв’яжіть рівняння: а) log 7 ( х + 3 ) = 2; (0,5б.) Розв’яжіть нерівність: log 9 ( 3x – 4 ) ≤ log 9 ( 5 – x ).Розв’яжіть рівняння: log 0,4 x + log 0,4 ( x + 1 ) = log 0,4 ( 8 – x ).

Answer 1

1) ОДЗ : x + 3 > 0      ⇒    x > - 3

$log_{7}(x+3)=2\\\\x+3=7^{2}\\\\x+3=49\\\\x=46\\\\Otvet:\boxed{46}$

2) ОДЗ :

1) 3x - 4 > 0    ⇒   x > 1 1/3

2) 5 - x > 0     ⇒   x < 5

x ∈ (1 1/3 ; 5)

$log_{9}(3x-4)\leq log_{9}(5-x)\\\\9>1\Rightarrow 3x-4\leq5-x\\\\3x+x\leq5+4\\\\4x\leq 9\\\\x\leq 2,25\\\\Otvet:\boxed{x\in(1\frac{1}{3};2,25]}$

3) ОДЗ :

1) x > 0

2) x + 1 > 0    ⇒ x > - 1

3) 8 - x > 0    ⇒ x < 8

x ∈ (0 ; 8)

$log_{0,4}x+log_{0,4} (x+1)=log_{0,4}(8-x)\\\\log_{0,4}[x(x+1)]=log_{0,4}(8-x)\\\\x(x+1)=8-x\\\\x^{2}+x-8+x=0\\\\x^{2}+2x-8=0\\\\x_{1} =2\\\\x_{2}=-4-neyd\\\\Otvet:\boxed{2}$

Answer 2

а) Почнемо з рівняння: log₇(x + 3) = 2

Це означає, що значення, до якого потрібно підняти основу 7, щоб отримати (x + 3), дорівнює 2.

7² = x + 3

49 = x + 3

x = 49 - 3

x = 46

Отже, розв'язком рівняння є x = 46.

б) Тепер розв'яжемо нерівність: log₉(3x - 4) ≤ log₉(5 - x).

Оскільки основа логарифмів однакова, ми можемо відкинути логарифми та зберегти нерівність:

3x - 4 ≤ 5 - x

4x ≤ 9

x ≤ 9/4

Отже, розв'язком нерівності є x ≤ 9/4.

в) Розв'яжемо рівняння: log₀,₄x + log₀,₄(x + 1) = log₀,₄(8 - x).

Використаємо властивості логарифмів для спрощення виразу:

log₀,₄(x(x + 1)) = log₀,₄(8 - x)

Тепер, коли основа логарифма однакова, можемо зберегти рівність:

x(x + 1) = 8 - x

x² + x = 8 - x

x² + 2x - 8 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Застосуємо квадратне рівняння, використовуючи квадратний корінь або рівняння знаходження коренів:

x = (-2 ± √(2² - 4(1)(-8))) / (2(1))

x = (-2 ± √(4 + 32)) / 2

x = (-2 ± √36) / 2

x = (-2 ± 6) / 2

Таким чином, маємо два розв'язки:

x₁ = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2

x₂ = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4

Отже, розв'язками рівняння є x = 2 та x = -4.