Question

7.3. Выделите квадрат двучлена и решите уравнение: 1) х2 - 2x – 8 = 0;2) 2x2 – 7х + 5 = 0;3) -х2 – 4х – 7 = 0;4) 3х2 - 2x – 3 = 0.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Все решение в прикрепленном фото

Answer 2

Для выделения квадрата двучлена и решения уравнений, давайте применим процесс завершения квадрата и далее решим полученные квадратные уравнения.

1. Уравнение: $x^2 - 2x - 8 = 0$

Сначала завершим квадрат, добавив и вычитая $1$ (половину коэффициента при $x$):

$x^2 - 2x + 1 - 1 - 8 = 0$

$(x - 1)^2 - 9 = 0$

Теперь это уравнение выражает квадрат разности $(x - 1)^2$ минус $9$.

$(x - 1)^2 = 9$

Извлекаем квадратный корень:

$x - 1 = \pm 3$

$x = 1 \pm 3$

Итак, уравнение имеет два корня: $x = -2$ и $x = 4$.

2. Уравнение: $2x^2 - 7x + 5 = 0$

Завершим квадрат для первого члена, добавив и вычитая $\frac{49}{8}$ (половину квадратичного члена):

$2x^2 - 7x + \frac{49}{8} - \frac{49}{8} + 5 = 0$

$2\left(x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{8}\right) - \frac{49}{8} + 5 = 0$

$2\left(x - \frac{7}{4}\right)^2 + \frac{1}{8} = 0$

Теперь выразим $x$ и найдем комплексные корни:

$2\left(x - \frac{7}{4}\right)^2 = -\frac{1}{8}$

$\left(x - \frac{7}{4}\right)^2 = -\frac{1}{16}$

$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{i}{4}$

$x = \frac{7}{4} \pm \frac{i}{4}$

Уравнение имеет два комплексных корня.

3. Уравнение: $-x^2 - 4x - 7 = 0$

Умножим обе стороны на $-1$, чтобы получить положительный коэффициент перед $x^2$:

$x^2 + 4x + 7 = 0$

Для данного уравнения не существует действительных корней, так как дискриминант $b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$, и он отрицательный. Это означает, что уравнение имеет два комплексных корня.

4. Уравнение: $3x^2 - 2x - 3 = 0$

Попробуем завершить квадрат для первого члена, добавив и вычитая $\frac{1}{4}$ (половину квадратичного члена):

$3x^2 - 2x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 3 = 0$

$3\left(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}\right) - \frac{13}{4} = 0$