Question

В геометрической прогрессии сумма восьми членов равна 1020, сумма первых шестнадцати равна 262140. Укажи, чему равна сумма первых тринадцати членов этой прогрессии. СПАМ СРАЗУ ЖЕ УДАЛЮ

Answer 1

Ответ:

32764 или -32772

Объяснение:

Формула для суммы первых n- членов геометрической прогрессии

$\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Подставим в эту формулу известные нам данные для S₈ и S₁₆

$\displaystyle 1020=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1} \\\\\\262140=\frac{b_1(q^{16}-1)}{q-1}$

И это у нас должна быть система уравнений.

Поделим второе на первое

$\displaystyle \frac{262140}{1020} =\frac{b_1(q^{16}-1)}{q-1} : \frac{b_1(q^{8}-1)}{q-1}\\\\\\257=\frac{q^{16}-1}{q^8-1}$

Далее разложим числитель как разность квадратов и решим уравнение относительно q

$\displaystyle 257=\frac{(q^8)^2-1}{q^8-1} \\\\257=\frac{q^8-1)(q^8+1)}{q^8-1} \\\\257 = q^8+1\\\\256=q^8\\\\2^8=q^8\\\\\boldsymbol {q=2;\quad q=-2}$

Итак, мы нашли два знаменателя геометрической прогрессии.

q = 2;  q = -2

Теперь посчитаем для них  первый член b₁

$\displaystyle 1020=\frac{b_1(2^8-1)}{2-1} \\\\\\\boldsymbol {b_1=\frac{1020}{255} =4}$

$\displaystyle 1020 = \frac{b_1((-2)^8-1) }{-2-1} \\\\\\b_1 = \frac{-3060}{255} =-12$

Т.е. одна прогрессия с положительными членами, другая со знакочередующимися.

А теперь посмотрим внимательно на формулу суммы первых n членов прогрессии и запишем ее в таком виде

$\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{b_1}{q-1} (q^n-1)$

и мы заметим, что у нас в обоих случаях отношение      $\displaystyle \frac{b_1}{q-1} =4$

Следовательно, какую бы пару (первый член, знаменатель) мы не взяли, сумма первых n членов, где n число четное, будет одинаковая, для обеих прогрессий.

А вот сумма первых n членов, где n число нечетное, будет различаться  для этих двух прогрессий.

Тогда, для прогрессии, где $b_1=4; \quad q=2$   S₁₃ будет равна

$\displaystyle S_{13}=\frac{4(2^{13}-1)}{1} =32764$

Для прогрессии, где   $b_1=-12; \quad q=-2$

$\displaystyle S_{13}=\frac{-12((-2)^{13}-1)}{-3} =-32772$

ответ

сумма первых тринадцати членов прогрессии с положительными членами  равна 32764

сумма первых тринадцати членов прогрессии со знакочередующимися членами рана -32772

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую прогрессию с использованием следующей формулы для суммы членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где:

• S_n - сумма первых n членов прогрессии,
• a - первый член прогрессии,
• r - знаменатель прогрессии,
• n - количество членов прогрессии.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. S_8 = 1020
2. S_16 = 262140

Давайте найдем знаменатель r и первый член a из этих уравнений.

Для S_8: S_8 = a * (1 - r^8) / (1 - r) = 1020

Для S_16: S_16 = a * (1 - r^16) / (1 - r) = 262140

Мы можем поделить второе уравнение на первое, чтобы избавиться от a:

(S_16 / S_8) = (a * (1 - r^16) / (1 - r)) / (a * (1 - r^8) / (1 - r))

Сокращаем a и (1 - r):

(S_16 / S_8) = (1 - r^16) / (1 - r^8)

Теперь подставим известные значения:

(262140 / 1020) = (1 - r^16) / (1 - r^8)

Упростим:

257.176 = (1 - r^16) / (1 - r^8)

Далее, перемножим обе стороны уравнения на (1 - r^8), чтобы избавиться от дроби:

257.176 * (1 - r^8) = 1 - r^16

Теперь, выразим r^16:

r^16 = 1 - 257.176 * (1 - r^8)

r^16 = 1 - 257.176 + 257.176 * r^8

r^16 - 257.176 * r^8 - 256.176 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно r^8. Решим его и найдем значения r.

После того как мы найдем значения r, мы сможем найти a, используя одно из начальных уравнений.

Зная a и r, мы можем найти сумму первых тринадцати членов прогрессии, используя формулу для S_n.