Question

Докажите что функция у=-х²-16х+3 возрастает на промежутке (-бесконечность, -8) и убывает на промежутке [-8,+8) . Помогите решить срочно пожалуйста, подробнее если можно.

Answer 1

Ответ:

См. Объяснение

Объяснение:

Первый способ.

1) Находим координату  х вершины параболы:

- b/2a = -(-16)/(-2) = - 8

2) Так как ветви параболы направлены вниз ( а - отрицательное), то

при х = - 8  у=-х²-16х+3 = maximum, а это значит, что на промежутке (-∞, -8) функция возрастает; а на промежутке [-8,+8) убывает.

Второй способ.

1) Рассчитаем производную

у'= - 2х-16

2) В точке экстремума функции (её максимума или минимума) производная равна нулю:

- 2х-16 = 0

х = - 8

3) Левее точке х = -8 производная имеет знак + (например, при х = - 10  у'= + 4), - значит, на промежутке (-∞, -8) функция у=-х²-16х+3  возрастает;

правее точки х = -8  производная имеет знак - (например, при х = 0 у'= -16) - значит, на промежутке [-8,+8) функция у=-х²-16х+3 убывает.  

Приходим к тому же выводу.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция y = -x^2 - 16x + 3 возрастает на промежутке (-∞, -8) и убывает на промежутке [-8, +∞), мы можем воспользоваться производной функции. Давайте выполним этот анализ подробно.

1. Начнем с вычисления производной функции y по x:

   y'(x) = d/dx (-x^2 - 16x + 3)

   Для этого применим правила дифференцирования для каждого члена:

   y'(x) = -2x - 16

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции. Решим уравнение:

   -2x - 16 = 0

   -2x = 16

   x = -8

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -8.

3. Теперь мы можем провести исследование знаков производной в интервалах (-∞, -8) и (-8, +∞):

   a. Для интервала (-∞, -8):

   Подставим x < -8 в производную (-2x - 16):

   Если x < -8, то -2x - 16 > 0 (потому что минус умножен на отрицательное число), следовательно, y'(x) > 0 на (-∞, -8).

   Это означает, что функция y возрастает на интервале (-∞, -8).

   b. Для интервала (-8, +∞):

   Подставим x > -8 в производную (-2x - 16):

   Если x > -8, то -2x - 16 < 0 (потому что минус умножен на положительное число), следовательно, y'(x) < 0 на (-8, +∞).

   Это означает, что функция y убывает на интервале (-8, +∞).

Итак, мы доказали, что функция y = -x^2 - 16x + 3 возрастает на промежутке (-∞, -8) и убывает на промежутке [-8, +∞).