Question

В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 30, а сумма второго и третьего членов равна 120, найдите первые три члена этой прогресий

Answer 1

Дано:

$b_1+b_2=30$

$b_2+b_3=120$

Найти: $b_1;b_2;b_3$

Решение

1) Воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии

$b_n=b_1q^{n-1}$

тогда

$b_2=b_1q$

$b_3=b_1q^2$

2) Подставим в условие и получим систему:

$\left \{ {{b_1+b_1q=30} \atop {b_1q+b_1q^2=120}} \right.$

$\left \{ {{b_1(1+q)=30} \atop {b_1q(1+q)=120}} \right.$

$\left \{ {{b_1(1+q)=30} \atop {q*(b_1(1+q))=120}} \right.$

$q*30=120$

$q=120:30$

$q=4$

3)  $b_1* (1+q)=30$

   $b_1* (1+4)=30$

  $5b_1 =30$

  $b_1=30 :5$

   $b_1=6$

4) $b_2=6*4=24$

   $b_2 = 24$

 

  $b_3 =24*4$

 $b_3=96$

Ответ: 6;  24;  96

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a", а знаменатель (отношение между членами) как "r". Тогда второй член будет равен "ar", а третий член будет равен "ar^2".

Известно, что сумма первого и второго члена равна 30:

a + ar = 30

Также известно, что сумма второго и третьего членов равна 120:

ar + ar^2 = 120

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными (a и r). Давайте решим эту систему. Сначала мы можем выразить "a" из первого уравнения:

a = 30 - ar

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

ar + ar^2 = 120

(30 - ar)r + (30 - ar)r^2 = 120

Раскроем скобки:

30r - ar^2 + 30r^2 - ar^3 = 120

Упростим уравнение:

30r + 30r^2 - ar^3 - ar^2 = 120

Теперь можем сгруппировать по степеням "r":

30r + 30r^2 - ar^2(1 + r) = 120

Теперь выразим "a" из этого уравнения:

a = (30r + 30r^2) / (1 + r)

Теперь у нас есть выражение для "a". Мы можем использовать его, чтобы найти значения первых трех членов геометрической прогрессии:

1. Первый член: a = (30r + 30r^2) / (1 + r)
2. Второй член: ar
3. Третий член: ar^2

У нас есть бесконечно много возможных значений "r", поэтому мы не можем точно определить значения членов без дополнительной информации или ограничений. Для того чтобы найти конкретные значения первых трех членов, необходимо знать значение "r".