Question

При каких параметрах a уравнение ax^2+6x+4=0 а) имеет единственный корень; б) имеет два разных корня; в) не имеет корней. С решением можно, пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

$a=\frac{9}{4}; \quad a \in (-\infty; \quad \frac{9}{4}); \quad a \in (\frac{9}{4}; \quad +\infty);$

Объяснение:

$ax^{2}+6x+4=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=6^{2}-4 \cdot a \cdot 4=36-16a;$

а) уравнение имеет единственный корень ⇒ дискриминант равен 0:

$36-16a=0;$

$16a=36;$

$a=\frac{36}{16};$

$a=\frac{9}{4};$

б) уравнение имеет два разных корня ⇒ дискриминант больше 0:

$36-16a>0;$

$-16a>-36;$

$a$

$a$

$a \in (-\infty;\quad \frac{9}{4});$

в) уравнение не имеет корней ⇒ дискриминант меньше 0:

$36-16a$

$-16a$

$a>\frac{-36}{-16};$

$a>\frac{9}{4};$

$a \in (\frac{9}{4}; \quad +\infty);$

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких параметрах a уравнение $ax^2 + 6x + 4 = 0$ имеет единственный корень, два разных корня или не имеет корней, мы можем воспользоваться дискриминантом.

Дискриминант $D$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем случае $a$ равно параметру $a$, $b$ равно 6, и $c$ равно 4. Таким образом, дискриминант уравнения $ax^2 + 6x + 4 = 0$ будет равен:

$D = 6^2 - 4 \cdot a \cdot 4 = 36 - 16a$

Теперь рассмотрим различные случаи:

а) Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант $D = 0$. То есть:

$36 - 16a = 0$

Решим это уравнение для $a$:

$36 - 16a = 0$ $16a = 36$ $a = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$

Ответ: Уравнение $ax^2 + 6x + 4 = 0$ имеет единственный корень при $a = \frac{9}{4}$.

б) Уравнение имеет два разных корня, если дискриминант $D > 0$. То есть:

$36 - 16a > 0$

Решим это неравенство для $a$:

$36 - 16a > 0$ $16a < 36$ $a < \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$

Ответ: Уравнение $ax^2 + 6x + 4 = 0$ имеет два разных корня при $a < \frac{9}{4}$.

в) Уравнение не имеет корней, если дискриминант $D < 0$. То есть:

$36 - 16a < 0$

Решим это неравенство для $a$:

$36 - 16a < 0$ $16a > 36$ $a > \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$

Ответ: Уравнение $ax^2 + 6x + 4 = 0$ не имеет корней при $a > \frac{9}{4}$.

Итак, мы определили, что:

а) Уравнение имеет единственный корень при $a = \frac{9}{4}$. б) Уравнение имеет два разных корня при $a < \frac{9}{4}$. в) Уравнение не имеет корней при $a > \frac{9}{4}$.