Question

Решите уравнения: 1)x^4-5x^2+4=02)x^4-8x^2-9=03)x^4-11x^2+30=04)x^4+5x^2+10=05)2x^4-5x^2+3=06)9x^4+23x^2-12=0​

Answer 1

Ответ: х₁₂=±2 ; х₃₄=±1.

Объяснение:

х⁴-5х²+4=0

х²=t

t²-5t+4=0

t₁₂=(5±√9)/2

t₁=(5+3)/2=4.

t₂=(5-3)/2=1.

х₂=4 ; х₁₂=±2.

х²=1 ; х₃₄=±1.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди.

1. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Сначала заметим, что это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $x^2$. Замените $x^2$ на $y$, тогда у вас будет:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь вернемся к переменной $x$:

Для $y_1$:

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$

Для $y_2$:

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Итак, у нас есть четыре корня: $x = 2, x = -2, x = 1, x = -1$.

2. $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Это также можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $x^2$. Заменим $x^2$ на $y$:

$y^2 - 8y - 9 = 0$

Используем дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

$y_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Для $y_1$:

$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

Для $y_2$:

$x^2 = -1$ - нет действительных корней.

Итак, у нас есть два корня: $x = 3$ и $x = -3$.

3. $x^4 - 11x^2 + 30 = 0$

Заменим $x^2$ на $y$:

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

$y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = 6$

$y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = 5$

Для $y_1$:

$x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$

Для $y_2$:

$x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5}$

Итак, у нас есть четыре корня: $x = \sqrt{6}, x = -\sqrt{6}, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5}$.

4. $x^4 + 5x^2 + 10 = 0$

Заметим, что все коэффициенты положительные, и это уравнение не имеет действительных корней. Решения будут комплексными числами.

5. $2x^4 - 5x^2 + 3 = 0$

Снова заменим $x^2$ на $y$:

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = 1$

Для $y_1$:

$x^2 = \frac{3}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Для $y_2$:

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Итак, у нас есть четыре корня: $x = \sqrt{\frac{3}{2}}, x = -\sqrt{\frac{3}{2}}, x = 1, x = -1$.

6. $9x^4 + 23x^2 - 12 = 0$

Снова заменим $x^2$ на $y$:

$9y^2 + 23y - 12 = 0$

Дискриминант:

$D = 23^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-12) = 529 + 432 = 961$

$y_1 = \frac{-23 + \sqrt{961}}{2 \cdot 9} = \frac{-23 + 31}{18} = \frac{4}{9}$

$y_2 = \frac{-23 - \sqrt{961}}{2 \cdot 9} = \frac{-23 - 31}{18} = -\frac{54}{18} = -3$

Для $y_1$:

$x^2 = \frac{4}{9} \implies x = \pm \frac{2}{3}$

Для $y_2$:

$x^2 = -3$ - нет действительных корней