Question

Докажите, что найдутся не менее 2020 различных целых положительных чисел п , что число п+0,25 является квадратом некоторого рационального числа.

Answer 1

Ответ:

При N может быть любое положительное целое число, т.е. у него нет границ.

К нему прибавится 0.25 в конце. 0.01 = 0.1*0.1 (т.е. нам уже не придется искать корень из 10, значит при N может быть такое число, которое даст нам квадрат рационального числа при сложении с 1/4)

проще говоря, получим что-то такое:

(4n+1)/4. Корень из 4 найти мы можем, из 4n+1 при определенном значении n тоже сможем

2 + 0.25 = 2.25, 4*2+1 = 3 в квадрате

12 + 0.25 = 12.25 и т.д. (можешь брать 20 и числа больше - все равно может получиться квадрат какого-то рационального числа)

Answer 2

Давайте рассмотрим числа вида p = 4n^2 - 0.25, где n - натуральное число.

Теперь докажем, что такие числа подходят для условия задачи:

1. Подставим p в выражение p + 0.25:

p + 0.25 = 4n^2 - 0.25 + 0.25 = 4n^2.

2. Мы видим, что p + 0.25 является квадратом числа 2n. Это можно записать следующим образом:

p + 0.25 = (2n)^2.

3. Теперь докажем, что числа p = 4n^2 - 0.25 различны для разных натуральных чисел n.

Допустим, есть два различных натуральных числа n1 и n2 таких, что p1 = 4n1^2 - 0.25 = p2 = 4n2^2 - 0.25. Тогда:

4n1^2 - 0.25 = 4n2^2 - 0.25.

Вычитая 0.25 из обоих сторон уравнения, получаем:

4n1^2 = 4n2^2.

Теперь делим обе стороны на 4:

n1^2 = n2^2.

Это означает, что n1 и n2 равны по модулю. Так как n1 и n2 натуральные числа, они также равны друг другу. Это противоречит начальному предположению о том, что n1 и n2 различны. Таким образом, различных натуральных чисел n1, для которых p1 и p2 были бы равны, не существует.

Таким образом, для каждого натурального числа n мы можем найти уникальное число p = 4n^2 - 0.25, и они все будут различными. Поэтому существует не менее 2020 различных целых положительных чисел p, таких что число p + 0.25 является квадратом некоторого рационального числа.