Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ!!! ПОМОГИИИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!! АЛГЕБРА 7 КЛАСС. МНОГОЧЛЕНЫ 5. Докажите, что x^2 + x^2*y^2 + y^2 + 1 является составным числом при любых натуральных x, y. 6. Докажите, что 2019^2 + 2020^2 · 2019^2 + 2020^2 является квадратом целого числа.

Answer 1

5. $x^2+x^2y^2+y^2+1=x^2(1+y^2)+(y^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)$

Поскольку x и y - натуральные числа, $x^2+1>1;\ y^2+1>1.$

Следовательно, произведение этих чисел является составным числом.

6. Заметим, что 2020=2019+1. Будем решать задачу в более общем виде. А именно, докажем, что при любом целом a выражение

$A=a^2+(a+1)^2\cdot a^2+(a+1)^2$ является квадратом целого числа. Имеем:

$A=a^2+a^4+2a^3+a^2+a^2+2a+1=a^4+2a^3+3a^2+2a+1=(a^2+a+1)^2$

Answer 2

5. Рассмотрим выражение x^2 + x^2y^2 + y^2 + 1 как многочлен от x. Если мы подставим x=1, получим выражение y^2 + 2, которое не является простым числом, так как равно 3 при y=1 и 2 при y=2. Если же мы подставим x=y=2, получим значение 21, которое также не является простым числом. Следовательно, x^2 + x^2y^2 + y^2 + 1 является составным числом при любых натуральных x, y.

6. Заметим, что 2019^2 + 2020^2 · 2019^2 + 2020^2 = (2019^2 + 2020^2/2)^2 + (2020^2/2)^2. Таким образом, это выражение является суммой квадратов двух целых чисел, и, следовательно, является квадратом целого числа.