Question

Решите уравнение х⁴ - 4 х² + 32 = 0​

Answer 1

Ответ:

Это уравнение, по моему, квадратичное и оно решается новой переменой, т.е

${x}^{2} = t$

Далее подставляем t и решаем уравнение:

$t^{2} - 4t + 32 = 0 \\ d = 16 - 128 = - 112$

У нас нет решения, так как - 122<0

Answer 2

Для решения уравнения $x^4 - 4x^2 + 32 = 0$, мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте введем новую переменную $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 4y + 32 = 0$

Теперь давайте решим это уравнение для переменной $y$. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = -4$, и $c = 32$. Подставим значения:

$y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 16 - 128 = -112$

Дискриминант отрицательный, что означает, что у нас нет действительных корней для переменной $y$. Тем не менее, мы можем найти комплексные корни.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{-112}}{2}$

Сначала извлечем корень из отрицательного числа:

$\sqrt{-112} = \sqrt{(-1) \cdot 112} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{112}i = 4\sqrt{7}i$

Теперь подставим это значение в уравнение для $y$:

$y = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{7}i$

Теперь мы знаем значения переменной $y$. Но мы ввели $y$ как квадрат $x$, поэтому нам нужно найти значения $x$:

1. $y = 2 + 2\sqrt{7}i$: В этом случае $x^2 = 2 + 2\sqrt{7}i$, откуда $x = \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{7}i}$.
2. $y = 2 - 2\sqrt{7}i$: В этом случае $x^2 = 2 - 2\sqrt{7}i$, откуда $x = \pm \sqrt{2 - 2\sqrt{7}i}$.

Теперь мы имеем четыре комплексных корня для исходного уравнения $x^4 - 4x^2 + 32 = 0$:

1. $x = \sqrt{2 + 2\sqrt{7}i}$
2. $x = -\sqrt{2 + 2\sqrt{7}i}$