Question

Найдите наибольшее значение функции y=-2x^2+12x+3 на промежутке: 1) [0;2] 2) [2,5;4] 3) [5;12]

Answer 1

y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 – это кубическая функция, проверим имеет ли она максимумы и минимумы, для этого найдем производную и приравняв у нулю, найдем промежутки возрастания и убывания. Если они имеются.

y = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 1)’ = 6x^2 – 6x – 12;

6x^2 – 6x – 12 = 0;

x^2 – x – 2 = 0;

D = b^2 – 4ac;

D = (- 1)^2 – 4 * 1 * (- 2) = 1 + 8 = 9; √D = 3;

x = (- b ± √D)/(2a);

x1 = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2;

x2 = (1 - 3)/2 = - 2/2 = - 1

Точки с абсциссами (- 1) и 2 – являются экстремумами, но ни одна из них не принадлежит промежутку [4; 5]. Значит наибольшее значение функции будет либо в точке 4, либо в точке 5.

y(4) = 2 * 4^3 – 3 * 4^2 – 12 * 4 + 1 = 128 – 48 – 48 + 1 = 129 – 96 = 33

y(5) = 2 * 5^3 – 3 * 5^2 – 12 * 5 + 1 = 250 – 75 – 60 + 1 = 251 – 135 = 116 – это наибольшее значение функции на интервале [4; 5].

Ответ. max [4; 5] y = у(5) = 116.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = -2x^2 + 12x + 3 на заданных промежутках, нам нужно вычислить значения функции на концах каждого промежутка, а также в её критических точках (где производная равна нулю).

1. Промежуток [0;2]:

   • Вычисляем y(0) = -2(0)^2 + 12(0) + 3 = 3
   • Вычисляем y(2) = -2(2)^2 + 12(2) + 3 = -8 + 24 + 3 = 19

2. Промежуток [2;4]:

   • Вычисляем y(2) = уже посчитали на предыдущем шаге: 19
   • Вычисляем y(4) = -2(4)^2 + 12(4) + 3 = -32 + 48 + 3 = 19

3. Промежуток [5;12]:

   • Вычисляем y(5) = -2(5)^2 + 12(5) + 3 = -50 + 60 + 3 = 13
   • Вычисляем y(12) = -2(12)^2 + 12(12) + 3 = -288 + 144 + 3 = -141

Таким образом, наибольшие значения функции на указанных промежутках:

1. Наибольшее значение на [0;2] равно 19.
2. Наибольшее значение на [2;4] также равно 19.
3. Наибольшее значение на [5;12] равно 13.