Question

Найти экстремумы функции y=x^2e^-x​

Answer 1

Ответ:

решение на фото

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^2e^{-x}$, нам нужно найти её производные и решить уравнение $\frac{dy}{dx} = 0$. Это уравнение позволит нам найти точки, в которых производная равна нулю, что может быть местом экстремума (максимума или минимума).

1. Начнем с вычисления первой производной функции $y$:

$\frac{dy}{dx} = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$

2. Теперь установим эту производную равной нулю и решим уравнение:

$2xe^{-x} - x^2e^{-x} = 0$

3. Мы можем вынести общий множитель $e^{-x}$ из левой стороны:

$e^{-x}(2x - x^2) = 0$

4. Теперь нам нужно решить два уравнения:

a) $e^{-x} = 0$ (это уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция $e^{-x}$ всегда положительна).

b) $2x - x^2 = 0$

5. Решим уравнение b):

$2x - x^2 = x(2 - x) = 0$

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: $x = 0$ и $x = 2$.

6. Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, нам нужно проанализировать знаки второй производной в окрестности этих точек.

Вычислим вторую производную:

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^{-x} - 2xe^{-x} + x^2e^{-x}$

Теперь подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ во вторую производную:

a) Для $x = 0$:

$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=0} = 2e^{0} - 2(0)e^{0} + (0)^2e^{0} = 2 > 0$

b) Для $x = 2$:

$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=2} = 2e^{-2} - 2(2)e^{-2} + (2)^2e^{-2} = e^{-2} > 0$

Поскольку в обоих случаях вторая производная положительна, это означает, что у нас есть минимумы функции в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Таким образом, функция $y = x^2e^{-x}$ имеет два минимума в точках $x = 0$ и $x = 2$.