Question

Сумма вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на p%. Доказать,что,вложив в банк а рублей через 3 года вкладчик будет иметь на счету а*(1+p/100)^3 рублей можете с объяснением пожалуйста​

Answer 1

Вкладчик положил в банк "а" рублей под р% годовых.

Через 1 год вкладчик будет иметь на счету  "а" рублей плюс  р%  от "а" рублей.

1% - это   $\dfrac{1}{100}$   часть числа .

Тогда  р%  -  это   $\dfrac{p}{100}$   частей от числа "а" равно  $a\cdot \dfrac{p}{100}$  рублей .

Значит, через 1 год  вкладчик будет иметь на счету

  $a+a\cdot \dfrac{p}{100}=a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)$   рублей .

Теперь на счету у вкладчика лежит   $a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)$  рублей. И теперь на эту сумму в конце 2 года начислят р%, то есть начислят

  $a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)\cdot \dfrac{p}{100}$   рублей .

Значит, через 2 года на счету вкладчика будет лежать

  $a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)+a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)\cdot \dfrac{p}{100}=a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)=a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)^2$  .

Аналогично, через 3 года на счету вкладчика будет лежать

  $a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)^2+a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)^2\cdot \dfrac{p}{100}=a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)^2\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)=a\cdot \Big(1+\dfrac{p}{100}\Big)^3$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы можем использовать метод математической индукции. Давайте рассмотрим каждый год в отдельности.

Пусть в начале у нас есть вклад в размере "а" рублей.

Первый год: После первого года вклад увеличивается на "p%" (p процентов). Это означает, что после первого года у нас будет "а + (p/100) * а" рублей на счету. Мы можем записать это как "а * (1 + p/100)".

Второй год: Теперь у нас уже есть "а * (1 + p/100)" рублей на счету. Второй год также проходит с увеличением на "p%", поэтому после второго года у нас будет "а * (1 + p/100) * (1 + p/100)" рублей. Это можно записать как "а * (1 + p/100)^2".

Третий год: На третий год вклад увеличивается на "p%" от суммы, которая уже есть на счету, то есть "а * (1 + p/100)^2". После третьего года у нас будет "а * (1 + p/100)^2 * (1 + p/100)" рублей.

Теперь мы видим, что после трех лет у нас действительно будет "а * (1 + p/100)^3" рублей на счету, что и требовалось доказать. Мы использовали математическую индукцию, начиная с первого года, и каждый последующий год мы умножали текущую сумму на "(1 + p/100)", чтобы учесть увеличение на "p%".