Question

Если: 1) n = 1; 2) n = 2; 3) n = 3; 4) Если n = 5, то построить однородный симметричный многочлен от двух переменных степени n.​

Answer 1

Ответ:

Определение. Многочлен называется однородным степени n, если все его члены имеют степень n.

Определение. Многочлен называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке переменных.

Так, для многочлена f(x,y) двух переменных это означает f(x,y)=f(y,x).

1) n = 1

f(x,y)=x+y;

2) n = 2

f(x,y)=x²+y²; f(x,y)=x·y; f(x,y)=x²+y²+x·y;

3) n = 3

f(x,y)=x²·y+y²·x; f(x,y)=x³+y³; f(x,y)=x²·y+y²·x+x³+y³;

4) n = 5

f(x,y)=x²·y³+y²·x³; f(x,y)=x·y⁴+y·x⁴; f(x,y)=x²·y³+y²·x³+x·y⁴+y·x⁴; f(x,y)=x⁵+y⁵;

f(x,y)=x²·y³+y²·x³+x·y⁴+y·x⁴+x⁵+y⁵.

Answer 2

Для построения однородного симметричного многочлена от двух переменных степени n, мы можем использовать многочлены Шейфера (Schur polynomials) или многочлены Шура. Эти многочлены обычно используются для описания симметричных функций.

Многочлен Шура S_lambda(x1, x2, ..., xn) ассоциирован с разбиением lambda = (λ_1, λ_2, ..., λ_k) целого числа n. Здесь x1, x2, ..., xn - это переменные, и степень многочлена равна n. Чтобы получить однородный симметричный многочлен, нам нужно выбрать разбиение lambda так, чтобы его длина была равна n.

1. n = 1: Многочлен Шура для n = 1 имеет вид S_1(x1) = x1.

2. n = 2: Многочлен Шура для n = 2 имеет вид S_2(x1, x2) = x1^2 + x2^2 - x1x2.

3. n = 3: Многочлен Шура для n = 3 имеет вид S_3(x1, x2, x3) = x1^3 + x2^3 + x3^3 - 3x1x2x3.

4. n = 5: Многочлен Шура для n = 5 будет ассоциирован с разбиением lambda = (5), так как это единственное разбиение длины 5. Таким образом, многочлен Шура для n = 5 будет иметь вид: S_5(x1, x2, x3, x4, x5) = x1^5 + x2^5 + x3^5 + x4^5 + x5^5 - 5(x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + x1x2x4x5 + x1x3x4x5 + x2x3x4x5).

Это однородный симметричный многочлен от двух переменных степени 5.