Question

Вычислить интеграл, даю 100 баллов ∫ √(x³-7)*3x² dx. помогите сложная тема

Answer 1

Ответ:

∫ √(x³-7)*3x² dx = $\frac{2}{3} (x^{3}-7 )^{\frac{3}{2} }$ + С, С - константа

Объяснение:

По правилам расчета производных, производная от

$\frac{2}{3} (x^{3}-7 )^{\frac{3}{2} }$+С  равна 2/3 * 3/2 √(x³-7) * 3x² = √(x³-7)*3x²

т.е. $\frac{2}{3} (x^{3}-7 )^{\frac{3}{2} }$+С является первообразной для √(x³-7)*3x²

Answer 2

Давайте вычислим данный интеграл:

∫ √(x³ - 7) * 3x² dx

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям, который формулируется следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и dv - это две функции, которые мы выбираем. Мы выберем:

u = √(x³ - 7) dv = 3x² dx

Теперь найдем их производные и дифференциалы:

du = (1/2) * (x³ - 7)^(-1/2) * 3x² dx dv = 3x² dx

Теперь мы можем вычислить du и v:

du = (3/2) * x² / √(x³ - 7) dx v = x³

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ √(x³ - 7) * 3x² dx = uv - ∫ v du

= x³ * √(x³ - 7) - ∫ x³ * (3/2) * x² / √(x³ - 7) dx

= x³ * √(x³ - 7) - (3/2) ∫ x^5 / √(x³ - 7) dx

Теперь мы можем сделать замену переменной, чтобы упростить интеграл. Положим t = x³ - 7, тогда dt = 3x² dx. Заменяя переменную, получим:

= x³ * √(x³ - 7) - (3/2) ∫ t^(5/3) dt

Теперь мы можем легко вычислить последний интеграл:

= x³ * √(x³ - 7) - (3/2) * (3/8) * t^(8/3) + C

= x³ * √(x³ - 7) - (9/16) * t^(8/3) + C

Теперь вернемся к исходной переменной x, используя обратную замену t = x³ - 7:

= x³ * √(x³ - 7) - (9/16) * (x³ - 7)^(8/3) + C

Это и есть окончательный ответ.