Question

3sin^2(3x)+7cos3x=3 Решите уравнения методом подстановки

Answer 1

Ответ:

ответ смотри во вложении

Answer 2

Для решения данного уравнения методом подстановки начнем с преобразования его так, чтобы мы могли выполнить подстановку. В данном случае, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами для преобразования синусов и косинусов в более удобные формы.

Исходное уравнение: $3\sin^2(3x) + 7\cos(3x) = 3$

Мы можем использовать тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ для преобразования синуса в косинус: $3(1 - \cos^2(3x)) + 7\cos(3x) = 3$

Теперь давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $u = \cos(3x)$. Тогда у нас есть:

$3(1 - u^2) + 7u = 3$

Теперь решим получившееся квадратное уравнение относительно $u$:

$3 - 3u^2 + 7u - 3 = 0$

Упростим его:

$3u^2 - 7u = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение:

$u(3u - 7) = 0$

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения $u$:

1. $u = 0$
2. $3u - 7 = 0$, что приводит к $u = \frac{7}{3}$

Теперь, когда у нас есть значения $u$, мы можем найти значения $x$ с использованием исходной замены $u = \cos(3x)$:

Для $u = 0$: $\cos(3x) = 0$

Для $u = \frac{7}{3}$: $\cos(3x) = \frac{7}{3}$

Решим оба уравнения:

1. $\cos(3x) = 0$: Это уравнение имеет бесконечно много решений в виде $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число. Таким образом, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.

2. $\cos(3x) = \frac{7}{3}$: Это уравнение также имеет бесконечно много решений в виде $3x = \arccos\left(\frac{7}{3}\right) + 2k\pi$ и $3x = -\arccos\left(\frac{7}{3}\right) + 2k\pi$, где $k$ - целое число. Таким образом, $x = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{7}{3}\right) + \frac{2k\pi}{3}$ и $x = -\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{7}{3}\right) + \frac{2k\pi}{3}$.

Таким образом, у нас есть бесконечное количество решений в виде: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$ $x = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{7}{3}\right) + \frac{2k\pi}{3}$ $x = -\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{7}{3}\right) + \frac{2k\pi}{3}$

где $k$ - целое число.

Answer 3

Для решения данного уравнения методом подстановки мы можем воспользоваться следующей заменой:

$$t = \sin(3x).$$

Теперь мы можем выразить $\cos(3x)$ через $t$ и преобразовать уравнение:

$$3t^2 + 7(1 - t^2) = 3.$$

Упростим это уравнение:

$$3t^2 + 7 - 7t^2 = 3.$$

Теперь сгруппируем по степени $t$:

$$-4t^2 + 7 = 3.$$

Выразим $t^2$:

$$4t^2 = 7 - 3,$$

$$4t^2 = 4.$$

Теперь найдем $t$:

$$t^2 = \frac{4}{4},$$

$$t^2 = 1.$$

Извлечем корень:

$$t = \pm 1.$$

Теперь вернемся к исходной замене:

$$\sin(3x) = \pm 1.$$

Чтобы найти $x$, нужно решить два уравнения:

1. $\sin(3x) = 1$:

$$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k_1,$$

где $k_1$ - целое число.

2. $\sin(3x) = -1$:

$$3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k_2,$$

где $k_2$ - целое число.

Теперь найдем $x$:

1. Для $\sin(3x) = 1$:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k_1}{3}.$$

2. Для $\sin(3x) = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k_2}{3}.$$

Итак, у нас есть бесконечное множество решений, которые можно представить в виде:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k_1}{3} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k_2}{3},$$

где $k_1$ и $k_2$ - целые числа.