Question

Боковые стороны AB и CD четырёхугольника, вписанного в окружность, равны. Докажите, что равны диагонали AC и BD этого четырёхугольника.

Answer 1

Ответ: Диагонали АС и ВD равны.

Объяснение: Если боковые стороны четырехугольника АВСД

АВ=СД и этот четырехугольник вписанный в окружность, то он

является или параллелограммом, или ромбом, или равнобедренной

трапецией. Для доказательства равенства диагоналей АС и ВД

рассматриваем каждый случай по отдельности.

Answer 2

Для доказательства равенства диагоналей AC и BD четырёхугольника, вписанного в окружность, можно воспользоваться свойством вписанных углов и теоремой о равных хордах.

Пусть ABCD - это четырёхугольник, вписанный в окружность, причём AB = CD.

Для начала рассмотрим два треугольника: ABC и CDA.

Согласно свойству вписанных углов, угол в центре окружности (угол BAC) в два раза больше угла на окружности, опирающегося на ту же дугу (угол BDC). То есть:

∠BAC = 2∠BDC ...(1)

Также, угол между хордой и касательной, проведенной в точке касания, равен половине угла на центральной дуге, опирающемуся на эту хорду:

∠BAC = 1/2∠BC ...(2)

∠CDA = 1/2∠CD ...(3)

Теперь объединим уравнения (1), (2) и (3):

2∠BDC = 1/2∠BC + 1/2∠CD

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

4∠BDC = ∠BC + ∠CD

Теперь заметим, что угол BDC является внутренним углом четырёхугольника, а угол BCD также является внутренним углом того же четырёхугольника. Следовательно, сумма углов внутри четырёхугольника равна 360 градусам:

∠BCD + ∠BDC = 360°

Теперь мы можем использовать полученное уравнение для углов BDC и