Question

1) Периметр правильного шестиугольника вписанного в окружность,равен 48м. Найди сторону квадрата,вписанного в ту же окружность. 2)Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72√3 см2 3)Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120 градусам, а радиус круга равен 12см.

Answer 1

См. рисунок

1. Правильный шестиугольник, состоит из шести равносторонних треугольников.

Найдем сторону шестиугольника AB=r=48/6=8м.

Рассмотрим ΔСDO в нем CD=DO=0,5a (где а - сторона квадрата) ⇒ a=2CD

По теореме Пифагора найдем  СD

r²=CD²+DO²=2CD² ⇒ r=CD√2⇒$CD=\frac{r}{\sqrt{2} }= \frac{8}{\sqrt{2}}$ м

$a=2*\frac{8}{\sqrt{2}}=8\sqrt{2}$ м

2. Из задачи №1. мы убедились, что радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника равна

$S=\frac{3\sqrt{3}r^{2}}{2}$ ⇒

$r=\sqrt{\frac{2S}{3\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{2*72\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}}=\sqrt{48}=4 \sqrt{3}$ см

Длина окружности равна L=2πr=2π4√3=π*8√3≈43,5 см

3.  Площадь сектора равна

$S=\pi r^{2} *\frac{n}{360}= \pi 12^{2} \frac{120}{360} =\pi \frac{144}{3}$≈151 см²

(где n - градусная мера дуги сектора)

Answer 2

1) Периметр правильного шестиугольника равен 48 м. Так как шестиугольник вписан в окружность, то его периметр равен длине окружности, которая равна 48 м. По формуле периметра шестиугольника (P = 6a, где а - длина стороны) найдем длину стороны шестиугольника: 48 = 6a, a = 8 м. Таким образом, сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, равна длине стороны шестиугольника, то есть 8 м.

2) Площадь вписанного в окружность правильного шестиугольника равна 72√3 см2. Площадь шестиугольника можно найти по формуле: S = (3√3/2) * a^2, где а - длина стороны. Так как площадь шестиугольника равна 72√3 см2, то 72√3 = (3√3/2) * a^2, откуда a^2 = 48, a = 4√3 см. Длина стороны шестиугольника равна длине окружности, поэтому длина окружности равна 6a = 24√3 см.

3) Градусная мера дуги кругового сектора равна 120 градусам, а радиус круга равен 12 см. Площадь кругового сектора можно найти по формуле: S = (πr^2 * α) / 360, где r - радиус, α - градусная мера дуги. Подставляя известные значения, получаем: S = (π * 12^2 * 120) / 360 = 48π см2. Таким образом, площадь кругового сектора равна 48π см2.