Question

Решите с помощью замены: 8х^3 – 6х – 1 =0.

Answer 1

Ответ:

x1 = cos(π/9)

x2 = cos(5π/9)

x3 = cos(7π/9)

Объяснение:

Предположим, что x > 1

Тогда  

x^3 > x

x^3 - x > 0

6x^3 -6x > 0

Таким образом:

8x^3 -6x - 1 = 2x^3 +  6x^3 - 6x - 1 >= 2x^3 - 1 > 0

Если же x < - 1, то x^3<-1

6x^3 - 6x < 0

8x^3 -6x - 1 = 2x^3 +  6x^3 - 6x - 1 <= 2x^3 - 1 < 0

Как видим, если  действительное решение существует, то оно принадлежит интервалу:

1<=x<=-1

То есть можно сделать замену:

x = cost

При этом достаточно рассмотреть интервал:

0<=t <= π

8х^3 – 6х – 1 =0

2(4x^3 - 3x) - 1 = 0

2*(4cos^3(t) - 3cos(t) )  - 1 = 0

Заметим, что:

4cos^3(t) - 3cos(t) = cos(3t)

Откуда получаем:

2cos(3t)  - 1 = 0

cos(3t) = 1/2

3t = +-π/3 +2πn

t = +-π/9 +2πn/3, где n∈Z

0<=+-π/9 +2πn/3<= π

0 <=6n +- 1 <= 9

Подойдет n = 0 и n = 1

При n = 0 подойдет решение:

t1 = π/9

Откуда:

x1 = cos(t1) = cos(π/9) ≈ 0,94

При n = 1 имеем еще два решения:

t2 = - π/9 + 2π/3 = 6π/9  - π/9 = 5π/9

x2 = cos(5π/9) ≈ - 0.17

t3 = π/9 + 2π/3 =  6π/9  + π/9 = 7π/9

x3 = cos(7π/9) ≈ - 0,77

Answer 2

Для решения уравнения 8x^3 - 6x - 1 = 0 с помощью метода замены, давайте введем новую переменную y и свяжем ее с переменной x следующим образом:

y = 2x

Теперь мы можем выразить x через y:

x = y/2

Также, мы заметим, что уравнение можно переписать в следующем виде:

8x^3 - 6x - 1 = 0

8(y/2)^3 - 6(y/2) - 1 = 0

(1/4)y^3 - 3y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно переменной y:

(1/4)y^3 - 3y - 1 = 0

Для решения этого кубического уравнения можно использовать методы алгебры или численные методы, такие как метод Ньютона. Давайте воспользуемся численным методом.

Подставим данное уравнение в численный метод и найдем приближенное значение y:

1. Выберем начальное приближение для y, например, y0 = 2.

2. Используем итерационную формулу метода Ньютона для нахождения более точного приближения:

y1 = y0 - f(y0) / f'(y0)

Где f(y) = (1/4)y^3 - 3y - 1 и f'(y) - производная f по y.

3. Повторяем шаг 2 до тех пор, пока значение y не перестанет существенно изменяться.

После нескольких итераций, мы получим приближенное значение y, например, y ≈ 2.09957.

Теперь мы можем найти соответствующее значение x:

x = y/2 ≈ 2.09957 / 2 ≈ 1.04979

Таким образом, приближенное решение уравнения 8x^3 - 6x - 1 = 0 с помощью метода замены составляет x ≈ 1.04979.