Question

Задание 1. В некоторых настольных играх нужно бросать кубики, чтобы сделать ход. Сумма очков, выпавших на кубиках, определяет, на какое количество клеток вы продвинетесь. Исследуйте эту случайную величину ("сумма выпавших очков при броске двух кубиков"): задайте распределение этой случайной величины с помощью таблицы; (30 баллов) найдите математическое ожидание этой случайной величины. (30 баллов) Задание 2 (40 баллов). Какое из событий более вероятно: "выпадение ровно 3 орлов при 5 бросках монеты" или "выпадение ровно 5 орлов при 7 бросках монеты"?

Answer 1

Ответ: 1) M[X]=7; 2) более вероятно выпадение 3 орлов при 5 бросаниях монеты.

Объяснение:

1) Случайная величина X - число очков при бросаниях двух кубиков - может принимать значения от 2 до 12.

Событие А2 - выпало 2 очка - может реализоваться только одним способом:

- на 1 кубике выпало 1 очко и на 2 - тоже 1 очко.

Событие А3 - выпало 3 очка - может реализоваться следующими двумя способами:

1 и 2 или 2 и 1

Событие А4 - выпало 4 очка:

1 и 3 или 2 и 2 или 3 и 1 - всего 3 способа.

Событие А5 - выпало 5 очков:

1 и 4 или 2 и 3 или 3 и 2 или 3 и 1 - всего 4 способа.

Событие А6 - выпало 6 очков:

1 и 5 или 2 и 4 или 3 и 3 или 4 и 2 или 5 и 1 - всего 5 способов.

Событие А7 - выпало 7 очков:

1 и 6 или 2 и 5 или 3 и 4 или 4 и 3 или 5 и 2 или 6 и 1 - всего 6 способов.

Событие А8 - выпало 8 очков:

2 и 6 или 3 и 5 или 4 и 4 или 5 и 3 или 6 и 2 - всего 5 способов.

Событие А9 - выпало 9 очков:

3 и 6 или 4 и 5 или 5 и 4 или 6 и 3 - всего 4 способа.

Событие А10 - выпало 10 очков:

4 и 6 или 5 и 5 или 6 и 4 - всего 3 способа.

Событие А11 - выпало 11 очков:

5 и 6 или 6 и 5 - всего 2 способа.

Событие А12 - выпало 12 очков:

6 и 6 - 1 способ.

Найдём вероятности этих событий. Так как вероятности всех способов одинаковы и равны 1/6*1/6=1/36, а сами способы являются несовместными событиями, то:

p(A2)=p(A12)=1*1/36=1/36; p(A3)=p(A11)=2*1/36=2/36; p(A4)=p(A10)=3*1/36=3/36; p(A5)=p(A9)=4*1/36=4/36; p(A6)=p(A8)=5*1/36=5/36; p(A7)=6*1/36=6/36.

Проверка: так как события А2...А12 несовместны и притом образуют полную группу, то p(A2)+p(A3)+...+p(A12)=1. Действительно, 1/36+2/36+3/36+4/36+5/36+6/36+5/36+4/36+3/36+2/36+1/36=36/36=1 - значит, вероятности найдены верно.

Составляем таблицу распределения случайной величины X:

xi      2       3       4        5       6        7        8       9       10      11       12

pi   1/36  2/36  3/36  4/36  5/36  6/36  5/36  4/36  3/36  2/36  1/36

Математическое ожидание M[X}=∑xi*pi=252/36=7.

2) Число способов m1, которыми можно получить 3 орла при 5 бросаниях монеты, определяется по формуле m1=C(5,3)=10, где C(n,k) - число сочетаний из n по k. А так как вероятность любого способа p=1/2*1/2*1/2*1/2*1/2=1/32, то вероятность появления 3 орлов при 5 бросаниях монеты p1=10*p=10/32. Число способов m2, которыми можно получить 5 орлов при 7 бросаниях монеты, определяется по формуле m2=C(7,5)=21. А так как вероятность любого способа p2=1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2=1/128, то вероятность появления 5 орлов при 7 бросаниях монеты p2=21*p=21/128. Так как p1>p2, то первое событие более вероятно.    

Answer 2

Задание 1:

Для нахождения распределения суммы выпавших очков при броске двух кубиков, мы можем создать таблицу вероятностей для всех возможных комбинаций результатов.

Для каждой грани на первом кубике (1, 2, 3, 4, 5, 6) и для каждой грани на втором кубике (1, 2, 3, 4, 5, 6) мы можем найти сумму результатов и определить, сколько раз эта сумма может выпасть. Вот таблица вероятностей:

diffCopy code
+-------+--------------+
| Сумма  | Вероятность |
+-------+--------------+
|   2   |     1/36     |
|   3   |     2/36     |
|   4   |     3/36     |
|   5   |     4/36     |
|   6   |     5/36     |
|   7   |     6/36     |
|   8   |     5/36     |
|   9   |     4/36     |
|  10   |     3/36     |
|  11   |     2/36     |
|  12   |     1/36     |
+-------+--------------+

Теперь, чтобы найти математическое ожидание (среднее значение) этой случайной величины, мы можем использовать следующую формулу:

Математическое ожидание (μ) = Σ(значение * вероятность)

где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины.

В данном случае, математическое ожидание будет равно:

μ = (2 * 1/36) + (3 * 2/36) + (4 * 3/36) + (5 * 4/36) + (6 * 5/36) + (7 * 6/36) + (8 * 5/36) + (9 * 4/36) + (10 * 3/36) + (11 * 2/36) + (12 * 1/36)

μ = 7

Итак, математическое ожидание суммы выпавших очков при броске двух кубиков равно 7.

Задание 2:

Чтобы определить, какое из событий более вероятно, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть броски монеты с двумя возможными исходами (орел или решка).

1. Вероятность выпадения ровно 3 орлов при 5 бросках монеты:

Используем формулу биномиального распределения: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

n = 5 (количество бросков) k = 3 (количество орлов) p = 0.5 (вероятность выпадения орла в одном броске)

P(X=3) = C(5, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^(5-3) P(X=3) = 10 * (0.125) * (0.125) P(X=3) = 0.125

2. Вероятность выпадения ровно 5 орлов при 7 бросках монеты:

Используем ту же формулу: n = 7 (количество бросков) k = 5 (количество орлов) p = 0.5 (вероятность выпадения орла в одном броске)

P(X=5) = C(7, 5) * (0.5)^5 * (0.5)^(7-5) P(X=5) = 21 * (0.03125) * (0.25) P(X=5) = 0.1640625

Таким образом, вероятность выпадения ровно 3 орлов при 5 бросках монеты (0.125) выше, чем вероятность выпадения ровно 5 орлов при 7 бросках монеты (0.1640625). Следовательно, событие "выпадение ровно 3 орлов при 5 бросках монеты" более вероятно.