Question

Укажите множество на котором функция f(x)=x ln x-2x-2 возрастает​

Answer 1

Ответ:   $x\in [\ e\ ;+\infty \, )$  .

$f(x)=x\, lnx-2x-2\\\\f'(x)=lnx+x\cdot \dfrac{1}{x}-2=lnx-1=0\ \ ,\ \ lnx=1\ \ \to \ \ x=e\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(e)+++\\{}\qquad \quad f(x):\ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ (e)\ \ \nearrow \\\\f(x)\ vozrastaet\ ,\ esli\ \ x\in [\ e\ ;+\infty \, )$

Answer 2

Чтобы найти множество, на котором функция $f(x) = x \ln(x) - 2x - 2$ возрастает, нам нужно найти интервалы, на которых производная функции положительна.

1. Начнем с нахождения производной функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln(x) - 2x - 2)$.

2. После нахождения производной, мы ищем её нули, так как производная меняет знак на этих точках. Найдем нули производной: $f'(x) = 0$.

3. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для $x$: $x \ln(x) - 2x - 2 = 0$.

4. Это уравнение не имеет аналитического решения в виде элементарных функций. Мы можем найти его численное решение с использованием численных методов или графического метода. Однако, для определения интервалов, на которых $f(x)$ возрастает, нам необязательно знать точные значения корней.

5. Мы можем использовать знание о домене функции $\ln(x)$, который определен только для положительных $x$, чтобы определить, где производная $f'(x)$ меняет знак. Таким образом, $x$ должен быть положительным.

Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(0, +\infty)$.