Question

Доведіть, що за будь-якого натурального числа n значення виразу (8n+1)²-(3n-1)² ділиться націло на 11​

Answer 1

Доказательство:

(8n + 1 )²- (3n - 1)² = 64n² + 16n + 1 - (9n² - 6n + 1) =

= 64n² + 16n + 1 - 9n² + 6n - 1 = 55n² + 22n = 11 · n · (5n + 2)

Разложение данного выражения на множители показывает, что одним из множителей является число 11, поэтому данное выражение делится нацело на 11, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для того щоб довести, що вираз (8n+1)² - (3n-1)² ділиться націло на 11, ми можемо спростити вираз і використати арифметичні властивості.

Почнемо з виразу:

(8n+1)² - (3n-1)²

Розглянемо кожен із доданків окремо:

1. (8n+1)² = 64n² + 16n + 1
2. (3n-1)² = 9n² - 6n + 1

Тепер віднімемо другий доданок від першого:

(64n² + 16n + 1) - (9n² - 6n + 1)

Тепер використаємо розподільний закон (a² - b² = (a + b)(a - b)):

(64n² + 16n + 1) - (9n² - 6n + 1) = (64n² + 16n + 1) - (9n² - 6n + 1) = (64n² + 16n + 1) - 9n² + 6n - 1

Згрупуємо подібні члени:

(64n² - 9n²) + (16n + 6n) + (1 - 1) = 55n² + 22n

Тепер ми маємо вираз 55n² + 22n, і нам потрібно показати, що цей вираз ділиться націло на 11. Для цього ми можемо використовувати теорію діленості:

Якщо n поділяється на 11, то 55n² + 22n також поділиться на 11. Але що, якщо n не поділяється на 11? Тоді ми можемо взяти залишок від ділення n на 11 і записати n у вигляді n = 11k + r, де k - це ціле число, а r - це залишок від ділення n на 11 (0 ≤ r < 11).

Підставимо це значення n у наш вираз:

55n² + 22n = 55(11k + r)² + 22(11k + r)

Тепер використаємо розподільний закон:

55(11k + r)² + 22(11k + r) = 605k² + 110rk + 55r² + 242k + 22r

Згрупуємо подібні члени:

605k² + (110r + 242k)n + 55r² + 22r

Тепер ми бачимо, що 110r + 242k є цілим числом, а 55r² + 22r має роздільник 11 (оскільки обидва члени містять член 11r).

Отже, ми показали, що вираз (8n+1)² - (3n-1)² ділиться націло на 11 для будь-якого натурального числа n.