Question

Запиши число 24 в виде суммы двух положительных чисел, чтобы сумма квадрата одного из чисел и удвоенного произведения второго была наименьшей.​

Answer 1

Ответ:

24=1+23.

Объяснение:

Пусть первое слагаемое будет x (x>0). Тогда второе слагаемое (24-x).

24-x>0, x<24

Рассмотрим функцию, которая определяет сумму квадрата первого числа и удвоенного второго.

$f(x)=x^{2} +2(24-x)=x^{2} +48-2x=x^{2} -2x+48$

Найдем наименьшее значение этой функции. Это квадратичная функция. Ее наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Значит,

$x{_0}=\dfrac{-b}{2a} ;\\x{_0}=\dfrac{2}{2\cdot1}=1 ;$

Тогда первое слагаемое 1, а второе 24-1=23.

Значит, 24=1+23.

Answer 2

Давайте обозначим два положительных числа как x и y. Нам нужно записать 24 в виде суммы этих чисел, чтобы минимизировать следующее выражение:

f(x, y) = x^2 + 2xy

Теперь найдем минимум этой функции. Для этого возьмем производные по x и y и приравняем их к нулю:

∂f/∂x = 2x + 2y = 0 ∂f/∂y = 2x + 2y = 0

Теперь решим эту систему уравнений:

2x + 2y = 0

Разделим оба уравнения на 2:

x + y = 0

Теперь мы видим, что x и y должны быть равными и противоположными, чтобы минимизировать выражение f(x, y). То есть:

x = 12 y = -12

Теперь мы можем записать 24 как сумму этих чисел:

24 = 12 - 12

Таким образом, сумма квадрата одного из чисел (12^2) и удвоенного произведения второго числа (-12) равна:

(12^2) + 2 * 12 * (-12) = 144 - 288 = -144

Итак, чтобы сумма квадрата одного числа и удвоенного произведения второго была наименьшей, мы можем записать 24 как 12 - 12.