Question

Найти предел функции у=f(х) при х→x0 1) f(х)= sinx/3x при х→0 2) f(х)= 2sin2x/5x при х→0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

используем первый замечательный предел

lim sinx/x=1

х→0

1)

lim sinx/3x=

х→0

=(1/3) lim sinx/x= 1/3

        х→0

2)

lim 2sin2x/5x=

х→0

=(2/5) lim sin2x/x=

 х→0

=2(2/5) lim sin2x/2x=  заменим переменную на y=2x

 х→0

=(4/5) lim siny/y=  

 y→0

= 4/5

Answer 2

Давайте найдем пределы указанных функций поочередно:

1. $f(x) = \frac{\sin(x)}{3x}$ при $x \to 0$:

Сначала заметим, что $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ (это классический предел синуса). Поэтому мы можем использовать этот факт:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}.$

Итак, предел функции $f(x) = \frac{\sin(x)}{3x}$ при $x \to 0$ равен $\frac{1}{3}$.

2. $f(x) = \frac{2\sin(2x)}{5x}$ при $x \to 0$:

Здесь мы можем использовать тот же факт, что $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$, но нам также нужно учесть, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Тогда:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(2x)}{5x} = \frac{2}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = \frac{2}{5} \cdot 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{4}{5} \cdot 1 = \frac{4}{5}.$

Итак, предел функции $f(x) = \frac{2\sin(2x)}{5x}$ при $x \to 0$ равен $\frac{4}{5}$.