Question

Какими должны быть стороны прямоугольника, периметр ко торого 1,2 м, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?​

Answer 1

Решение задачи:

1) Найдем одну из сторон для прямоугольника:

P = 2(a + b),

120 = 2 (a + b),

60 = a + b,

b = 60 - а.

2) Площадь:

S = ab = a * (60 - а) = 60a - а2,

S = 60a - а2, функция с одной неизвестной, а.

3) Применяем производную:

S' = (60a - а2)' = 60 - 2a, приравниваем S' = 0,

60 - 2a = 0,

2а = 60,

а = 60 : 2,

а = 30 - критическая точка, а максимум функции в этой точке:

S(30) = 60 * 30 - 302 = 1800 - 900 = 900;

b = 60 - а = 60 - 30 = 30.

Проверка: 120 = 2(30 + 30).

Ответ: стороны прямоугольника должны быть по 30 м.

Answer 2

Чтобы найти размеры прямоугольника, площадь которого будет наибольшей при заданном периметре, нужно использовать метод оптимизации. В данном случае, площадь прямоугольника можно выразить как функцию одной переменной, например, длины одной из его сторон. Пусть одна сторона прямоугольника будет равна "x" метрам, тогда вторая сторона будет равна (1,2 - 2x) метрам, так как периметр прямоугольника равен 1,2 метрам (P = 2x + 2(1,2 - 2x) = 1,2).

Площадь S прямоугольника равна произведению его сторон:

S(x) = x * (1,2 - 2x)

Теперь мы имеем функцию S(x), и нашей задачей является найти значение x, при котором S(x) будет наибольшей. Для этого найдем производную функции S(x) и приравняем ее к нулю:

S'(x) = x * (-2) + (1,2 - 2x) * 1 = -2x + 1,2 - 2x

Теперь приравняем S'(x) к нулю и решим уравнение:

-2x + 1,2 - 2x = 0

Сгруппируем переменные:

-4x + 1,2 = 0

Теперь выразим x:

-4x = -1,2 x = -1,2 / -4 x = 0,3 м

Таким образом, одна сторона прямоугольника должна быть равна 0,3 метра, а вторая сторона будет равна (1,2 - 2 * 0,3) = 0,6 метра.

Итак, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при заданном периметре 1,2 метра, его стороны должны быть 0,3 метра и 0,6 метра.